Zbiór zadań

Znaleziono 75 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(5,-3)$, a ramiona paraboli są skierowane w górę (parabola ma najmniejszą wartość w wierzchołku), więc najmniejszą wartością funkcji $f$ jest $-3$, a funkcja przyjmuje wszystkie wartości od $-3$ wzwyż:
   $$[-3,+\infty )$$

1. Funkcja nie ma miejsc zerowych, więc wyróżnik trójmianu jest ujemny:
   $$b^2-4ac<0$$
2. Wartość $f(0)=c$, a z treści wiemy, że $c<0$ — wykres funkcji w punkcie $x=0$ leży pod osią $Ox$. Skoro wykres nie przecina osi $Ox$ w żadnym punkcie (brak miejsc zerowych), cały wykres leży pod tą osią, więc parabola musi być skierowana ramionami w dół:
   $$a<0$$
3. Zatem prawidłowa jest odpowiedź B (wykres leży pod osią $Ox$) z uzasadnieniem 1. ($a<0$ i $b^2-4ac<0$).

1. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=1$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę i osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku. Odcięta wierzchołka wyraża się wzorem $x_w=-\frac{b}{2a}$, a z treści wiemy, że $x_w=2$:
   $$-\frac{b}{2}=2⟹b=-4$$
2. Wartość najmniejsza to $f(2)=4$. Podstawiamy $b=-4$ i wyznaczamy $c$:
   $$\begin{array}{rl}& 2^2+(-4)\cdot 2+c=4\\ & 4-8+c=4\\ & c=8\end{array}$$

1. Funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej, więc jej miejsca zerowe to $x=2$ i $x=-1$. Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny ($a=-2$), więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
2. Odcięta wierzchołka to średnia arytmetyczna miejsc zerowych:
   $$x_w=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}$$
3. Parabola o ramionach skierowanych w dół rośnie na lewo od wierzchołka, czyli w przedziale $(-\infty ,\frac{1}{2}⟩$.

1. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, gdzie $(p,q)$ to współrzędne wierzchołka, a współczynnik $a$ jest taki sam jak w postaci ogólnej.
2. Podstawiamy $a=3$ oraz $p=-3$, $q=2$ (bo $W=(-3,2)$):
   $$f(x)=3(x-(-3){)}^2+2=3(x+3{)}^2+2$$

1. Funkcja zapisana w postaci iloczynowej ma miejsca zerowe $x_1=-3$ oraz $x_2=5$.
2. Współrzędna $x$ wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych:
   $$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+5}{2}=1$$

1. Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a funkcja osiąga wartość największą w wierzchołku.
2. Wzór $f(x)=-x^2+4$ jest już w postaci kanonicznej bez przesunięcia w poziomie, więc wierzchołek ma współrzędne $(0,4)$. Największa wartość funkcji to $4$, a zbiorem wartości jest przedział:
   $$(-\infty ,4⟩$$

1. Funkcja jest iloczynem dwóch czynników liniowych pomnożonym przez $-2$, więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej miejsca zerowe to $x=-1$ oraz $x=3$.
2. Wierzchołek paraboli (oś symetrii) znajduje się w połowie odległości między miejscami zerowymi:
   $$x=\frac{-1+3}{2}=1$$
3. Ponieważ ramiona są skierowane w dół, funkcja rośnie do wierzchołka i maleje od niego, czyli jest malejąca w przedziale $[1,+\infty )$.

1. Ramiona paraboli na rysunku są skierowane w dół, więc współczynnik przy $x^2$ musi być ujemny. Odrzucamy odpowiedzi A i C, w których ten współczynnik jest dodatni.
2. Zostają odpowiedzi B i D. Sprawdzamy miejsca zerowe funkcji $f(x)=-x^2+x+2$:
   $$\begin{array}{rl}-x^2+x+2& =0\\ x^2-x-2& =0\\ (x-2)(x+1)& =0\\ x& =2\text{lub}x=-1\end{array}$$
3. Ta funkcja ma miejsce zerowe $x=-1$, czyli jej wykres przecinałby oś $Ox$ także po lewej stronie zera. Na rysunku cała widoczna część paraboli leży dla dodatnich $x$, więc odpowiedź B odrzucamy.
4. Sprawdzamy miejsca zerowe funkcji $f(x)=-x^2+6x-7$:
   $$\begin{array}{rl}-x^2+6x-7& =0\\ x^2-6x+7& =0\\ x& =3\pm \sqrt{2}\end{array}$$
5. Oba miejsca zerowe są dodatnie ($x\approx 1,6$ oraz $x\approx 4,4$), co zgadza się z rysunkiem. Zatem szukanym wzorem funkcji jest $f(x)=-x^2+6x-7$.