Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 5

2 pkt

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z

30

kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę

L

obsługiwanych klientów

n

-tego dnia opisuje funkcja

L (n) = - n^{2} + 22 n + 279

gdzie

n

jest liczbą naturalną spełniającą warunki

n \geq 1

i

n \leq 30

.

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Największą liczbę klientów,

400

, obsłużono jedenastego dnia (

n = 11

)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Funkcja $L$ jest kwadratowa, ze współczynnikiem przy $n^{2}$ równym $- 1 < 0$ , więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, a największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku tej paraboli. Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej, wyłączając $- 1$ przed nawias i uzupełniając wyrażenie w nawiasie do pełnego kwadratu:
$L (n) = - n^{2} + 22 n + 279 = - (n^{2} - 22 n) + 279 = - [(n - 11)^{2} - 121] + 279 = - (n - 11)^{2} + 400$

Zadanie 33 Funkcja kwadratowa

4 pkt

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po

196

złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód $P$ (w złotych) ze sprzedaży $x$ krzeseł można opisać funkcją $P (x) = 196 x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ krzeseł dziennie można opisać funkcją

$K (x) = 4 x^{2} + 4 x + 240$

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej

30

krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.
Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Funkcja kwadratowa

4 pkt

Działka ma kształt trapezu. Podstawy

A B

i

C D

tego trapezu mają długości

∣ A B ∣ = 400

m oraz

∣ C D ∣ = 100

m. Wysokość trapezu jest równa

75

m, a jego kąty

D A B

i

A B C

są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie

A B

tego trapezu, a dwa pozostałe –

E

oraz

F

– na ramionach

A D

i

B C

trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.
Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu

A B C D

jest sumą pól trapezów

A B F E

oraz

E F C D

:

P_{A B C D} = P_{A B F E} + P_{E F C D}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

A = (0, 3)

. Punkt

B = (2, 0)

leży na wykresie funkcji

f

.
Wyznacz wzór funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2.1 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

dla każdego

x \in R

.

Fragment wykresu funkcji

g

w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja

g

przyjmuje w przedziale

[9, 11]

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2.2 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

dla każdego

x \in R

.

Fragment wykresu funkcji

g

w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru

m

, dla których równanie

g (x) = ∣ m ∣

ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Funkcja kwadratowa

5 pkt

Dane jest równanie

(x - 6) \cdot [(m - 2) x^{2} - 4 (m + 3) x + m + 1] = 0

z niewiadomą

x

i parametrem

m \in R

.

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Informacja do zadań 7. i 8.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = 2 x^{2} + 5 x

.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zadanie 7.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, ma współrzędne

(5, - 3)

. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych ma współrzędne

(4, 0)

.

Zapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7.2 Funkcja kwadratowa

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, ma współrzędne

(5, - 3)

. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych ma współrzędne

(4, 0)

.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej

f

w postaci kanonicznej.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Informacja do zadań 7. i 8.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = 2 x^{2} + 5 x

.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona wzorem

g (x) = 2 x^{2} - 5 x

. Wykres funkcji

g

jest

Zadanie 9 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f (x) = a x^{2} + b x + c

, gdzie

a

,

b

i

c

są liczbami rzeczywistymi takimi, że

a \neq = 0

oraz

c < 0

. Funkcja

f

nie ma miejsc zerowych.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Wykres funkcji

f

leży w całości

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Zadanie 10 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = x^{2} + b x + c

osiąga dla

x = 2

wartość najmniejszą równą

4

. Wtedy

Zadanie 11 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = - 2 (x - 2) (x + 1)

. Funkcja

f

jest rosnąca w zbiorze

Zadanie 12 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = - 2 (x - 1)^{2} + 3

jest rosnąca w przedziale

	ponieważ

Zbiór zadań

Wyniki