Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 3

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dane są punkty

A = (- 4, 7)

oraz

B = (12, 3)

.
Prosta

A B

przecina oś

O x

w punkcie

C

.
Symetralna odcinka

A B

przecina oś

O x

w punkcie

D

.

Oblicz współrzędne punktów

C

i

D

oraz pole trójkąta

A C D

.

C = (24, 0)

,

D = (\frac{11}{4}, 0)

,

P_{A C D} = \frac{595}{8}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$ do równania prostej przechodzącej przez dwa punkty.
$(y - y_{A}) (x_{B} - x_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0 (y - 7) (12 - (- 4)) - (3 - 7) (x - (- 4)) = 0 16 y - 112 + 4 x + 16 = 0 16 y = - 4 x + 96 / : 16 y = - \frac{1}{4} x + 6$

Zadanie 34 Geometria analityczna

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, 1)

oraz

C = (6, 4)

są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

. Prosta

k

o równaniu

y = a x + b

przechodzi przez wierzchołki

B

oraz

D

tego kwadratu.

Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki

a

oraz

b

w równaniu prostej

k

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Geometria analityczna

1 pkt

Odległość punktu

A = (6, 2)

od prostej o równaniu

5 x - 12 y + 1 = 0

jest równa

Zadanie 7 Geometria analityczna

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są:
okrąg o równaniu

(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 50

i punkty

A = (6, 4)

oraz

B = (- 6, 8)

.
Punkt

C

leży na tym okręgu i

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

.

Oblicz współrzędne punktu

C

. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano trapez

E F G H

. Wszystkie współrzędne wierzchołków

E

,

F

,

G

i

H

są liczbami całkowitymi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkty o współrzędnych

(1, 4)

i

(2, 0)

to wierzchołki

Zadanie 11 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

3 x + y + 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = x^{2} - 2 x - 8

w punktach

A

oraz

B

, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku

A B C D

. Wierzchołek

A

ma pierwszą współrzędną ujemną.

Wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - \frac{1}{2} x + 1

i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu

C

od prostej zawierającej bok

A B

równoległoboku jest równa

\frac{9 10}{5}

.

Oblicz długość boku

B C

tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

5 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

środek

S

okręgu o promieniu

5

leży na prostej o równaniu

y = x + 1

. Przez punkt

A = (1, 2)

, którego odległość od punktu

S

jest większa od

5

, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

B

i

C

. Pole czworokąta

A B S C

jest równe

15

.

Oblicz współrzędne punktu

S

. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Geometria analityczna

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono pięć punktów

P_{1}

,

P_{2}

,

P_{3}

,

P_{4}

oraz

P_{5}

(zobacz rysunek). Wszystkie współrzędne tych punktów są liczbami całkowitymi. Punkt

P_{1}

ma współrzędne

(- 1, - 2)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jeżeli współrzędną

x

punktu

P_{1}

zwiększymy o

4

, a współrzędną

y

tego punktu zwiększymy o

3

, to otrzymamy współrzędne punktu

Zadanie 21 Geometria analityczna

1 pkt

Proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (3 m + 1) x + 2

l : y = - 4 x + (2 m + 5)

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Zadanie 21 Geometria analityczna

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przekątne równoległoboku

A B C D

przecinają się w punkcie

S = (9, 11)

. Bok

A B

tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{1}{2} x - 1

, a bok

A D

zawiera się w prostej o równaniu

y = 2 x - 4

.

Oblicz współrzędne wierzchołka

B

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 21 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 2, - 1)

oraz

C = (3, 4)

są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu

A B C D

jest równa

Zadanie 22 Geometria analityczna

1 pkt

Dana jest prosta o równaniu

y = - 3 x + 1

.

Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu

Zadanie 22 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = - 7 x + 3

. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przecina oś

O y

w punkcie

(0, 6)

. Punkt o współrzędnych

(1, p)

należy do prostej

l

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

p

jest równa

Zadanie 23 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są cztery okręgi:

o_{1}

,

o_{2}

,

o_{3}

,

o_{4}

, o równaniach:

o_{1} : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1

o_{2} : (x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

o_{3} : (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4

o_{4} : (x + 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 16

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych

(x, y)

, jest

Zadanie 23 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

odcinek o końcach

A = (- 4, 7)

oraz

B = (6, - 1)

jest średnicą okręgu

O

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

O

jest określony równaniem

Zbiór zadań

Wyniki