Zbiór zadań

Znaleziono 90 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Odczytujemy z wykresu współrzędne wierzchołków trapezu:
   

   • $E=(2,0)$
   • $F=(4,1)$
   • $G=(1,4)$
   • $H=(0,2)$
2. Podane punkty $(1,4)$ i $(2,0)$ to współrzędne wierzchołków $G$ i $E$ (odpowiedź B).

1. Do współrzędnej $x$ punktu $P_1$ dodajemy $4$, a do współrzędnej $y$ dodajemy $3$.
   $$(-1+4,-2+3)=(3,1)$$
2. Na rysunku punktem o współrzędnych $(3,1)$ jest punkt $P_2$.

1. Punkty $A$ i $C$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu, więc odcinek $AC$ jest jego przekątną. Obliczamy jej długość ze wzoru na odległość punktów:
   $$|AC|=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(4-(-1){)}^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$
2. Bok kwadratu o przekątnej $d$ ma długość $\frac{d}{\sqrt{2}}$, więc:
   $$a=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5$$

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta $l$ ma równanie postaci $y=-7x+b$. Skoro przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$, to $b=6$:
   $$l:y=-7x+6$$
2. Podstawiamy $x=1$, aby obliczyć $p$:
   $$p=-7\cdot 1+6=-1$$

1. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$:
   $$(m+1)\cdot (-2)=-1$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& -2m-2=-1\\ & -2m=1\\ & m=-\frac{1}{2}\end{array}$$

1. Okrąg $o_1$ ma środek $(1,2)$ i promień $r=1$. Odległość środka od osi $Ox$ to $2$, a od osi $Oy$ to $1$ - odległość od $Oy$ jest równa promieniowi, więc okrąg jest styczny do osi $Oy$ (ma z nią punkt wspólny).
2. Okrąg $o_2$ ma środek $(-1,-2)$ i promień $r=3$. Odległość środka od osi $Ox$ to $2$, czyli mniej niż promień, więc okrąg przecina oś $Ox$ (ma z nią punkty wspólne).
3. Okrąg $o_3$ ma środek $(3,4)$ i promień $r=2$. Odległość środka od osi $Ox$ to $4$, a od osi $Oy$ to $3$ - obie odległości są większe od promienia $2$, więc ten okrąg nie ma żadnego punktu wspólnego z żadną z osi.
4. Okrąg $o_4$ ma środek $(-3,-4)$ i promień $r=4$. Odległość środka od osi $Ox$ to $4$, czyli tyle, ile wynosi promień, więc okrąg jest styczny do osi $Ox$ (ma z nią punkt wspólny). Zatem szukanym okręgiem jest $o_3$.

1. Środek okręgu to środek odcinka $AB$ (średnicy):
   $$S=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{7+(-1)}{2}\right)=(1,3)$$
2. Promień to połowa długości $AB$. Obliczamy najpierw kwadrat długości $AB$:
   $$|AB{|}^2=(6-(-4){)}^2+(-1-7{)}^2=10^2+(-8{)}^2=164$$
3. Kwadrat promienia to jedna czwarta tej wartości:
   $$r^2=\frac{164}{4}=41$$
4. Zapisujemy równanie okręgu:
   $$(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=41$$

1. Sprawdzamy, czy punkt $(-1,-3)$ spełnia równanie okręgu, podstawiając jego współrzędne:
   $$(-1-1{)}^2+(-3+2{)}^2=(-2{)}^2+(-1{)}^2=4+1=5$$
2. Lewa strona jest równa prawej stronie równania okręgu, więc punkt $(-1,-3)$ należy do okręgu $\mathcal{O}$ — stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Z równania okręgu $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5$ odczytujemy, że $r^2=5$, czyli $r=\sqrt{5}$, a nie $5$ — stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Z równania okręgu $\mathcal{O}$ odczytujemy jego środek $S=(1,-2)$ i promień $r=\sqrt{5}$.
2. W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych każdy punkt $(x,y)$ przechodzi na punkt $(-x,-y)$, więc środek okręgu $\mathcal{K}$ ma współrzędne:
   $$S^{\prime }=(-1,2)$$
3. Promień okręgu nie zmienia się w symetrii środkowej, więc okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem:
   $$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=5$$