Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 2

4 pkt

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości

H

ostrosłupa oraz promienia

R

okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa

6

.

Objętość

V

ostrosłupa w zależności od długości

R

promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

dla

R \in (0, 6)

.

Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

R = 4, V = 83

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wyznaczamy pochodną funkcji $V$ :
$V^{'} (R) = \frac{3}{4} \cdot (12 R - 3 R^{2})$

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość

10

. Niech

x

oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu. Pole

P

trapezu jako funkcja długości

x

tego odcinka jest określone wzorem

P (x) = x \cdot 100 - x^{2}

dla

x \in (0, 10)

.

c) Oblicz długość

x

odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3 x ^{2} - 2 x}{x ^{2} + 2 x + 8}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Punkt

P = (x_{0}, 3)

należy do wykresu funkcji

f

.

Oblicz

x_{0}

oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9 x

dla każdego

x \in R

. Punkt

P = (x_{0}, 18)

należy do wykresu funkcji

f

.

Oblicz

x_{0}

oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Pochodne

4 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

dla każdej liczby dodatniej

x

.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji

f

określonej dla każdej liczby dodatniej

x

. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji

f

można przedstawić w postaci

f (x) = x^{4} + x^{2} - 6 x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Pochodne

6 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne

A B C D E F G H

, w których odcinek łączący punkt

O

przecięcia przekątnych

A C

i

B D

podstawy

A B C D

z dowolnym wierzchołkiem podstawy

E F G H

ma długość

d

(zobacz rysunek).

a) Wyznacz zależność objętości

V

graniastosłupa od jego wysokości

h

i podaj dziedzinę funkcji

V (h)

.
b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy trójkąty

A B C

, w których

A = (0, 0)

,

B = (m, 0)

, gdzie

m \in (4, + \infty)

, a wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - 2 x

. Na boku

B C

tego trójkąta leży punkt

D = (3, 2)

.

b) Oblicz tę wartość

m

, dla której funkcja

P

osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej

B C

, przy której funkcja

P

osiąga tę najmniejszą wartość.

Pole trójkąta

A B C

jest równe

P (m) = \frac{m ^{2}}{m - 4}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

.

Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

P = (- 3, - 3)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Pochodne

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 2

.
Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu

x = \frac{1}{2}

jest równa

Zadanie 6.2 Pochodne

6 pkt

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu

K

, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca

K

toru od początku

P

) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$ .

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Pochodne

4 pkt

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej

480

litrów i nie może przekroczyć

530

litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji

(480 + x)

litrów dziennie przeciętny koszt

K

(w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

K (x) = \frac{22 x ^{2} - 621 , 5 x + 23 430}{480 + x}

, gdzie

x \in [0, 50]

.

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

dla

x \in (0, 1)

. Oblicz długość odcinka

x

tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

dla

b \in (\frac{9}{2}, 9)

. Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Pochodne

1 pkt

Prosta dana równaniem

y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji

f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} + x + 5

w punkcie

Zadanie 13 Pochodne

5 pkt

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{3} + k}{x}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 0

.

Oblicz wartość

k

, dla której prosta o równaniu

y = - x

jest styczna do wykresu funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki