Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−812x−84 dla każdego x∈(−∞,8).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których:
• wierzchołek O ma współrzędne (0,0) • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią - odpowiednio - Ox i Oy • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f
(zobacz rysunek).
Pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określone wzorem
P(x)=421⋅x−8x2−56
dla x∈(0,7).
Oblicz współrzędne wierzchołka C, dla których pole czworokąta OBCD jest największe. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
C=(8−22,12−32)
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d (zobacz rysunek).
a) Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V(h). b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.
Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480+x) litrów dziennie przeciętny koszt K (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy
K(x)=480+x22x2−621,5x+23430, gdzie x∈[0,50].
Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18. Pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem P(b)=2(18−2b)⋅18b−81 dla b∈(29,9).
Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (∣AC∣=∣BC∣), na których opisano okrąg o promieniu R=1. Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB trójkąta. Pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x, wyraża się wzorem P(x)=(x+1)⋅1−x2 dla x∈(0,1).
Oblicz długość odcinka x tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołki A i B leżą na wykresie funkcji f określonej wzorem f(x)=x49 dla x=0. Punkt C ma współrzędne (0,−31), a punkty A i B są położone symetrycznie względem osi Oy (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne wierzchołków A i B, dla których pole trójkąta ABC jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
100 zł za 1 m2 dna
75 zł za 1 m2 ściany bocznej
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.