Zbiór zadań z matematyki

Zadanie 16DowodzenieMatura podstawowa czerwiec 2025

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

a

, która przy dzieleniu przez

5

daje resztę

1

, i dla każdej liczby całkowitej

b

, która przy dzieleniu przez

5

daje resztę

4

, liczba

a^{2} - b^{2}

jest podzielna przez

5

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a^{2} - b^{2} = 5 \cdot (5 k^{2} + 2 k - 5 l^{2} - 8 l - 3)

Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium

Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.

Sprawdź plany Premium

Zadanie 17DowodzenieMatura podstawowa maj 2025

2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej

n

liczba

3 n^{2} + 2 n + 7

jest podzielna przez

4

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 18DowodzenieMatura podstawowa sierpień 2025 (F. 2015)

2 pkt

Wykaż, że liczba

8^{50} - 2^{145}

jest podzielna przez

31

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 19DowodzenieMatura podstawowa maj 2024

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}

przy dzieleniu przez

3

daje resztę

2

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 20DowodzenieMatura podstawowa grudzień 2024

2 pkt

Wykaż, że liczba

2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24}

jest podzielna przez

21

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 21DowodzenieMatura podstawowa sierpień 2024

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

(2 n + 5)^{2} + 3

jest podzielna przez

4

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 22DowodzenieMatura podstawowa czerwiec 2024

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

5 n^{3} - 5 n

jest podzielna przez

30

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 23DowodzenieMatura rozszerzona czerwiec 2024

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

a

i każdej liczby dodatniej

b

takich, że

a + b = 1

, prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 24DowodzenieMatura rozszerzona czerwiec 2024

3 pkt

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe

a

oraz

b

, przy czym

a > b

. W ten trapez można wpisać okrąg.

Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od

a \cdot b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 25DowodzenieMatura podstawowa czerwiec 2023

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

k

reszta z dzielenia liczby

49 k^{2} + 7 k - 2

przez

7

jest równa

5

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 26DowodzenieMatura podstawowa maj 2023

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

(2 n + 1)^{2} - 1

jest podzielna przez

8

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 27DowodzenieMatura podstawowa sierpień 2023

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

3 n^{3} + 18 n^{2} + 15 n

jest podzielna przez

6

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 28DowodzenieMatura rozszerzona maj 2023

3 pkt

Liczby rzeczywiste

x

oraz

y

spełniają jednocześnie równanie

x + y = 4

i nierówność

x^{3} - x^{2} y \leq x y^{2} - y^{3}

.

Wykaż, że

x = 2

oraz

y = 2

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 29DowodzenieMatura rozszerzona czerwiec 2023

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

a

prawdziwa jest nierówność

a^{2} + \frac{16}{a} \geq 12

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 30DowodzenieMatura podstawowa grudzień 2023

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej

n

liczba

3 n^{2} + 4 n + 1

jest podzielna przez

4

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź