Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Masa bańki z mlekiem to suma stałej masy pustej bańki ($6,5$ kg) oraz masy $x$ litrów mleka, gdzie każdy litr waży $1,03$ kg:
   $$f(x)=1,03x+6,5$$

1. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny. W naszym przypadku $a=-2k+3$, więc:
   $$-2k+3<0$$
2. Rozwiązujemy nierówność:
   $$\begin{array}{rl}-2k+3& <0\\ -2k& <-3\\ k& >\frac{3}{2}\end{array}$$
3. Funkcja $f$ jest malejąca dla $k\in \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$.

1. Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego $y=0$. Z tabeli odczytujemy, że $f(-1)=0$ oraz $f(1)=0$ — to dwa różne miejsca zerowe, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
2. Wykres jest symetryczny względem osi $Oy$, gdy $f(-x)=f(x)$ dla każdego $x$ z dziedziny. Sprawdzamy to dla $x=2$:
   $$f(-2)=-1\ne 3=f(2)$$
3. Wartości są różne, więc wykres funkcji $f$ NIE jest symetryczny względem osi $Oy$ — drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(3,0)$. Ponieważ parabola przechodzi przez punkt $(0,-9)$, który leży poniżej wierzchołka, ramiona paraboli są skierowane w dół.
2. Funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, jest rosnąca do wierzchołka i malejąca od wierzchołka. Zatem funkcja $f$ jest malejąca w przedziale:
   $$[3,+\infty )$$

1. Ramiona paraboli są skierowane do góry, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku, a nie ma wartości największej.
2. Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołka: $(1,-2)$, więc najmniejsza wartość funkcji to $-2$.
3. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział:
   $$[-2,+\infty )$$

1. Osią symetrii paraboli jest prosta pionowa przechodząca przez jej wierzchołek.
2. Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędną $x=1$, więc osią symetrii jest prosta:
   $$x=1$$

1. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem $(3,0)$ ma postać:
   $$f(x)=a(x-3{)}^2$$
2. Wyznaczamy współczynnik $a$, korzystając z faktu, że parabola przechodzi przez punkt $(0,-9)$:
   $$\begin{array}{rl}& a(0-3{)}^2=-9\\ & 9a=-9\\ & a=-1\end{array}$$
3. Wzór funkcji w postaci kanonicznej to:
   $$f(x)=-(x-3{)}^2$$
4. Rozwijamy nawias, aby otrzymać postać ogólną:
   $$f(x)=-(x^2-6x+9)=-x^2+6x-9$$
5. Porównując z podanymi odpowiedziami, wzór funkcji $f$ zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami B i D.

1. Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(1,-2)$, więc wzór funkcji w postaci kanonicznej to $f(x)=a(x-1{)}^2-2$ dla pewnego $a$.
2. Z rysunku odczytujemy, że parabola przechodzi przez punkt $(3,0)$ (miejsce zerowe). Podstawiamy współrzędne tego punktu, aby wyznaczyć $a$:
   $$\begin{array}{rl}& 0=a(3-1{)}^2-2\\ & 0=4a-2\\ & a=\frac{1}{2}\end{array}$$
3. Wzór funkcji $f$ to:
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x-1{)}^2-2$$

1. Funkcja $g$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $f(x)=-(x-3{)}^2$ o $1$ w dół:
   $$g(x)=-(x-3{)}^2-1$$
2. Wierzchołkiem paraboli $g$ jest punkt $(3,-1)$, a ramiona są skierowane w dół, więc największą wartością funkcji $g$ jest $-1$. Ponieważ $-1<0$, funkcja $g$ nigdy nie przyjmuje wartości $0$ — nie ma miejsc zerowych. Zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Przesunięcie wykresu w pionie nie zmienia osi symetrii — oś symetrii wykresu funkcji $g$ to nadal prosta $x=3$. Zatem drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Obliczamy wartość funkcji dla $x=36$:
   $$f(36)={\log }_{6}36={\log }_6{6}^2=2$$
2. Otrzymana wartość $2$ jest różna od $6$, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Podstawa logarytmu $6>1$, więc funkcja logarytmiczna $f(x)={\log }_{6}x$ jest rosnąca — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Skoro $2$ jest miejscem zerowym funkcji, to $f(2)=0$. Podstawiamy $x=2$ do wzoru funkcji:
   $$(3-m)\cdot 2+4=0$$
2. Rozwiązujemy otrzymane równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 6-2m+4=0\\ & 10-2m=0\\ & m=5\end{array}$$

1. Trzeci wyraz ciągu to różnica sumy trzech początkowych wyrazów i sumy dwóch początkowych wyrazów:
   $$a_3=S_3-S_2$$
2. Obliczamy obie sumy z podanego wzoru:
   $$\begin{array}{rl}& S_3=3^2+2\cdot 3=9+6=15\\ & S_2=2^2+2\cdot 2=4+4=8\end{array}$$
3. Zatem trzeci wyraz ciągu jest równy:
   $$a_3=15-8=7$$

1. Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f$:
   $$\begin{array}{rl}& 3x+6=0\\ & 3x=-6\\ & x=-2\end{array}$$
2. Funkcja $g$ ma to samo miejsce zerowe, więc $g(-2)=0$:
   $$a\cdot (-2)+7=0$$
3. Rozwiązujemy równanie względem $a$:
   $$\begin{array}{rl}& -2a+7=0\\ & -2a=-7\\ & a=\frac{7}{2}\end{array}$$

1. Obliczamy pierwsze kilka wyrazów ciągu:
   $$a_1=3\cdot (-1)+10=7,a_2=3\cdot 1+10=13,a_3=3\cdot (-1)+10=7$$
2. Sprawdzamy iloraz między kolejnymi wyrazami:
   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{13}{7},\frac{a_3}{a_2}=\frac{7}{13}$$
3. Ilorazy są różne, więc ciąg NIE jest geometryczny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
4. Ciąg jest naprzemienny: dla $n$ nieparzystych $a_n=7$, dla $n$ parzystych $a_n=13$. Wśród ośmiu początkowych wyrazów są po cztery wyrazy każdego rodzaju, więc suma wynosi:
   $$4\cdot 7+4\cdot 13=28+52=80$$
5. Otrzymana suma jest równa $80$, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).