Zadanie 33 - Matura podstawowa 2024 (czerwiec, F. 2015) - Rozwiązanie

2 pkt

Bok kwadratu

A B C D

ma długość równą

12

. Punkt

S

jest środkiem boku

B C

tego kwadratu. Na odcinku

A S

leży punkt

P

taki, że odcinek

B P

jest prostopadły do odcinka

A S

.

Oblicz długość odcinka

B P

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ B P ∣ = \frac{12 5}{5}

Punkt $S$ jest środkiem boku $B C$ , więc $∣ B S ∣ = 6$ . Trójkąt $A B S$ jest prostokątny, a odcinek $B P$ jest jego wysokością poprowadzoną na przeciwprostokątną $A S$ .
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka $A S$ .
$∣ A S ∣^{2} = 1 2^{2} + 6^{2} ∣ A S ∣^{2} = 180 ∣ A S ∣ = 180 = 65$
Wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa iloczynowi przyprostokątnych podzielonemu przez przeciwprostokątną, więc obliczamy $∣ B P ∣$ .
$∣ B P ∣ = \frac{∣ A B ∣ \cdot ∣ B S ∣}{∣ A S ∣} = \frac{12 \cdot 6}{6 5} = \frac{12}{5} = \frac{12 5}{5}$

Podobne zadania z działu planimetria