Zbiór zadań

Znaleziono 101 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego: podwojony środkowy wyraz jest sumą wyrazu pierwszego i trzeciego:
   $$2x^2=(3x^2+5x)+(20-x^2)$$
2. Upraszczamy prawą stronę równania:
   $$2x^2=2x^2+5x+20$$
3. Odejmujemy $2x^2$ od obu stron i wyznaczamy $x$:
   $$\begin{array}{rl}& 0=5x+20\\ & x=-4\end{array}$$

1. Sprawdzamy, czy $10$ jest wyrazem ciągu $(a_n)$:
   $$3n=10⟹n=\frac{10}{3}$$
2. Liczba $n=\frac{10}{3}$ nie jest liczbą naturalną, więc $10$ nie jest wyrazem ciągu $(a_n)$.
3. Sprawdzamy, czy $10$ jest wyrazem ciągu $(b_n)$:
   $$4n-2=10⟹n=3$$
4. Liczba $n=3$ jest liczbą naturalną, więc $10$ jest wyrazem ciągu $(b_n)$.

1. Upraszczamy wzór ciągu, dzieląc licznik przez $n$:
   $$a_n=\frac{2n^2-30n}{n}=2n-30$$
2. Podstawiamy $n=7$:
   $$a_7=2\cdot 7-30=14-30=-16$$

1. Iloraz ciągu wynosi $q=2$, a drugi wyraz $a_2=2$. Wyznaczamy pierwszy wyraz:
   $$\begin{array}{rl}& a_2=a_1\cdot q\\ & 2=a_1\cdot 2\\ & a_1=1\end{array}$$
2. Sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru $S_5=a_1\cdot \frac{q^5-1}{q-1}$:

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_{10}=a_5+5r$, gdzie $r$ to różnica ciągu.
   $$a_{10}-a_5=5r$$
2. Podstawiamy dane wartości i wyznaczamy różnicę:
   $$\begin{array}{rl}& -66-(-31)=5r\\ & -35=5r\\ & r=-7\end{array}$$

1. Wyrażamy $a_5$ przez $a_3$ i iloraz $q$:
   $$a_5=a_3\cdot q^2$$
2. Podstawiamy do równania $9a_5=4a_3$ i dzielimy obie strony przez $a_3$ (wyraz dodatni, więc $a_3\ne 0$):
3. Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc iloraz musi być dodatni:
   $$q=\frac{2}{3}$$

1. Sprawdzamy monotoniczność ciągu, obliczając różnicę kolejnych wyrazów:
   $$\begin{array}{rl}{a}_{n+1}-a_n& =2(n+1{)}^2+(n+1)-\left(2n^2+n\right)\\ & =4n+3\end{array}$$
2. Dla $n\ge 1$ różnica $4n+3>0$, więc ciąg $(a_n)$ jest rosnący, a nie malejący — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Obliczamy ósmy wyraz ciągu:
   $$a_8=2\cdot 8^2+8=2\cdot 64+8=136$$
4. Otrzymana wartość zgadza się z podaną w treści — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę $r$ między kolejnymi wyrazami. Obliczamy ją z pierwszych dwóch wyrazów:
   $$r=\frac{1}{2}-(-3)=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$$
2. Trzeci wyraz ciągu to $x$:
   $$x=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}=4$$
3. Czwarty wyraz ciągu to $y$:
   $$y=x+\frac{7}{2}=4+\frac{7}{2}=\frac{15}{2}$$
4. Sprawdzamy, czy piąty wyraz się zgadza:
   $$y+\frac{7}{2}=\frac{15}{2}+\frac{7}{2}=11$$

1. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
   $$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{-5}=-3$$
2. Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, podstawiamy dane:
   $$a_n=-5\cdot (-3{)}^{n-1}$$
3. To odpowiada odpowiedzi A. Sprawdzamy, czy odpowiedź E jest z nią równoważna:
   $$\begin{array}{rl}5\cdot \frac{(-3{)}^n}{3}& =5\cdot \frac{(-3)\cdot (-3{)}^{n-1}}{3}\\ & =-5\cdot (-3{)}^{n-1}\end{array}$$
4. Otrzymujemy dokładnie ten sam wzór co w odpowiedzi A, więc poprawne są odpowiedzi A oraz E.

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego i obliczamy różnicę $r$:
   $$\begin{array}{rl}& a_4=a_1+3r\\ & 8=-1+3r\\ & r=3\end{array}$$
2. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy $S_{100}$:
   $$S_{100}=\frac{2a_1+(100-1)r}{2}\cdot 100=\frac{-2+297}{2}\cdot 100=14750$$

1. W ciągu arytmetycznym różnica między trzecim a drugim wyrazem jest równa różnicy między drugim a pierwszym wyrazem:
   $$r=y-(y-4)=4$$
2. Ciąg możemy więc zapisać w postaci $(x,x+4,x+8)$. Korzystamy z warunku, że suma wszystkich wyrazów jest równa $6$:
   $$\begin{array}{rl}& x+(x+4)+(x+8)=6\\ & 3x+12=6\\ & 3x=-6\\ & x=-2\end{array}$$
3. Obliczamy pozostałe wyrazy ciągu:
   $$x+4=2,x+8=6$$