Zbiór zadań

Znaleziono 53 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Liczby dwucyfrowe dodatnie to liczby od $10$ do $99$. Obliczamy, ile ich jest.
   $$99-10+1=90$$
2. Wśród nich wypisujemy liczby podzielne przez $20$.
   $$20,40,60,80$$
3. Liczb podzielnych przez $20$ jest $4$. Prawdopodobieństwo to stosunek liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich wyników.
   $$P=\frac{4}{90}=\frac{\bcancel{2}\cdot 2}{\bcancel{2}\cdot 45}=\frac{2}{45}$$
4. Szukane prawdopodobieństwo jest równe $\frac{2}{45}$ (odpowiedź A).

1. Łączna liczba kul w urnie jest równa:
   $$18+12=30$$
2. Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:
   $$P(\text{biała})=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$
3. Pierwsze zdanie jest więc prawdziwe (P).
4. Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej:
   $$P(\text{czarna})=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$$
5. Porównujemy $\frac{2}{5}$ z $\frac{1}{3}$, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika:
   $$\frac{2}{5}=\frac{6}{15}\frac{1}{3}=\frac{5}{15}$$
6. Ponieważ $\frac{6}{15}>\frac{5}{15}$, prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej NIE jest mniejsze od $\frac{1}{3}$ – drugie zdanie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.

1. Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Wśród liczb oczek $1$–$6$ nieparzyste są $1,3,5$, czyli $3$ z $6$ możliwych wyników — prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej w jednym rzucie wynosi $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
2. Oba rzuty są niezależne, więc mnożymy prawdopodobieństwa:
   $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

1. Z wykresu odczytujemy liczbę jabłek o poszczególnych masach:
   

   • $17$ dag - $2$ jabłka
   • $18$ dag - $6$ jabłek
   • $19$ dag - $8$ jabłek
   • $20$ dag - $17$ jabłek
   • $21$ dag - $11$ jabłek
   • $22$ dag - $3$ jabłka
   • $23$ dag - $3$ jabłka

   Sprawdzamy, że łącznie jest to $50$ jabłek:
   $$2+6+8+17+11+3+3=50$$
2. Normę jakości spełniają jabłka o masie $19$, $20$ lub $21$ dag. Liczba takich jabłek:
   $$8+17+11=36$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo w modelu klasycznym i skracamy ułamek:
   $$P=\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary różnych liczb $(a,b)$, gdzie $a,b\in \{1,2,3,4,5\}$. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=5\cdot 4=20$$
2. Liczbami nieparzystymi w tym zbiorze są $1$, $3$, $5$. Zdarzeniu $A$ sprzyjają pary, w których obie wylosowane liczby są nieparzyste:
   

   • $(1,3)$
   • $(1,5)$
   • $(3,1)$
   • $(3,5)$
   • $(5,1)$
   • $(5,3)$

   Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$:
   $$|A|=3\cdot 2=6$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary różnych liczb $(a,b)$, gdzie $a,b\in \{1,2,\dots ,8\}$ i $a\ne b$. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=8\cdot 7=56$$
2. Dzielnikami liczby $8$ są $1,2,4,8$. Suma dwóch różnych liczb ze zbioru $\{1,\dots ,8\}$ jest zawsze większa od $2$, więc interesują nas tylko sumy równe $4$ oraz $8$. Wypisujemy pary sprzyjające zdarzeniu $A$:
   $$(1,3),(3,1),(1,7),(7,1),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3)$$
3. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ jest równa $8$, więc prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$

1. Zastosuj wzór na prawdopodobieństwo całkowite, uwzględniając wybór urny zależny od wyniku rzutu monetą.
   $$P(B)=P(R)\cdot P(B|U_1)+P(O)\cdot P(B|U_2)$$
2. Podstaw dane liczbowe i oblicz.
   $$\begin{array}{rl}P(B)& =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7}+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}\\ & =\frac{1}{14}+\frac{4}{14}\\ & =\frac{5}{14}\end{array}$$

1. Szukamy prawdopodobieństwa warunkowego: spośród $240$ mężczyzn pracujących w firmie $43$ jest w wieku przedemerytalnym. Prawdopodobieństwo jest więc równe stosunkowi tych liczb.
   $$P=\frac{43}{240}$$
2. Zapisujemy nieskończone rozwinięcie dziesiętne liczby $\frac{43}{240}$ i odczytujemy pierwsze trzy cyfry po przecinku: $1$, $7$, $9$.
   $$\frac{43}{240}=0,179166\dots$$

1. Wynik pierwszego rzutu nie wpływa na wynik drugiego rzutu, więc wystarczy rozważyć sam drugi rzut. Liczby oczek podzielne przez $3$ na kostce to $3$ i $6$ — $2$ z $6$ możliwych wyników:
   $$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

1. Stosunek losów wygrywających do przegrywających wynosi $2:7$, więc wszystkich części jest:
   $$2+7=9$$
2. Prawdopodobieństwo, że zakupiony los jest wygrywający:
   $$P=\frac{2}{9}$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb $(a,b)$, gdzie $a,b\in M$. Ponieważ losowanie odbywa się ze zwracaniem, liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=9\cdot 9=81$$
2. Zdarzeniu $A$ sprzyjają te pary liczb ze zbioru $M$, których iloczyn wynosi $24$:
   $$(3,8),(4,6),(6,4),(8,3)$$
3. Zatem liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ jest równa $|A|=4$.
4. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ obliczamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{4}{81}$$

1. Losowanie jest ze zwracaniem, więc liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=5\cdot 5=25$$
2. Zbiór zawiera dwie liczby ujemne ($-5,-4$) i trzy liczby dodatnie ($1,2,3$). Iloczyn dwóch wylosowanych liczb jest ujemny, gdy jedna z nich jest ujemna, a druga dodatnia (w dowolnej kolejności losowania). Liczba takich par wynosi:
   $$|A|=2\cdot 3+3\cdot 2=6+6=12$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{12}{25}$$