Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=x2+4. W układzie współrzędnych (x,y) styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (2,8) przecina oś Ox w punkcie
Poprawna odpowiedź
B. (0,0)
Liczymy pochodną funkcji f.
f′(x)=2x
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie (2,8) to wartość pochodnej w x=2.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2).
Pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
P(a)=2a−a2+4a−4
dla a<0.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną AB tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.
Pole P trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem
P(x)=x2−162x3
dla każdego x∈(4,10⟩.
Wyznacz długość x podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
W układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2).
Pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
P(a)=2a−a2+4a−4
dla a<0.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną AB tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.
Wielomian f zmiennej rzeczywistej x jest określony wzorem f(x)=x3+ax2+bx+c, gdzie a,b,c∈R. Liczba (−2) jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) styczna do wykresu wielomianu f w punkcie A o pierwszej współrzędnej równej (−2) przecina ten wykres w punkcie P=(1,9).
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym 243.
Objętość V graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określona wzorem
V(a)=6a−81a3
dla a∈(0,43).
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−42x+1 dla każdej liczby rzeczywistej x=4.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P=(x0,5) należy do wykresu funkcji f.
Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.
dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f. Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P.
Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−812x−84 dla każdego x∈(−∞,8).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których:
• wierzchołek O ma współrzędne (0,0) • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią - odpowiednio - Ox i Oy • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f
(zobacz rysunek).
Pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określone wzorem
P(x)=421⋅x−8x2−56
dla x∈(0,7).
Oblicz współrzędne wierzchołka C, dla których pole czworokąta OBCD jest największe. Zapisz obliczenia.
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.
Objętość V ostrosłupa w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
V(R)=43⋅(6R2−R3)
dla R∈(0,6).
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Zapisujemy równanie stycznej w postaci kierunkowej, korzystając ze współczynnika kierunkowego 4 i punktu (2,8).
y−8=4(x−2)y=4x
Wyznaczamy punkt przecięcia stycznej z osią Ox, podstawiając y=0. Styczna przecina oś Ox w punkcie (0,0).
0=4x⟹x=0
A. jedno ekstremum lokalne – dla x=−1.
B. jedno ekstremum lokalne – dla x=0.
C. jedno ekstremum lokalne – dla x=1.
D. dwa ekstrema lokalne – dla x=0 oraz dla x=1.
C. jedno ekstremum lokalne – dla x=1
Liczymy pochodną funkcji f i rozkładamy ją na czynniki.
f′(x)=12x3−12x2=12x2(x−1)
Miejsca zerowe pochodnej to x=0 oraz x=1. Badamy znak f′ w kolejnych przedziałach – czynnik 12x2 jest zawsze nieujemny, więc o znaku f′ decyduje czynnik (x−1).
W punkcie x=0 pochodna nie zmienia znaku (jest ujemna po obu stronach), więc to nie jest ekstremum. W punkcie x=1 znak zmienia się z ujemnego na dodatni, więc funkcja f ma tam jedyne ekstremum lokalne – minimum.
a=2
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.