Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki

5 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (1, - 1)

oraz

B = (4, 0)

są wierzchołkami trójkąta

A B C

, w którym

∣ C A ∣ = ∣ C B ∣

. Jedno z ramion trójkąta

A B C

zawiera się w prostej o równaniu

x + 2 y - 4 = 0

. Na boku

A C

tego trójkąta obrano taki punkt

M

, że

∣ A M ∣ : ∣ M C ∣ = 1 : 4

.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie

M

i przechodzi przez punkt

C

. Zapisz obliczenia.

(x - \frac{6}{5})^{2} + (y + \frac{3}{5})^{2} = \frac{16}{5}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$ do równania prostej $x + 2 y - 4 = 0$ . Spełnia je tylko punkt $B$ , więc w tej prostej leży ramię $B C$ , a $A B$ jest podstawą trójkąta.

Zadanie 13.1 Geometria analityczna

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

.

Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Geometria analityczna

5 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są okręgi

O_{1}

oraz

O_{2}

o równaniach:

•

O_{1} : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5

•

O_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45

Te okręgi przecinają się w punktach

A

oraz

B

. Punkt

A

ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt

M

spełnia warunek

A M = - 2 \cdot B M

.

Oblicz współrzędne punktów

A

,

B

oraz

M

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dane są okręgi

O_{1}

oraz

O_{2}

o równaniach:

$O_{1} : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$
$O_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45$ .

Te okręgi przecinają się w punktach

A

oraz

B

. Punkt

A

ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt

M

spełnia warunek

A M = - 2 \cdot B M

.
Oblicz współrzędne punktów

A

,

B

oraz

M

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest równoległobok

A B C D

o wierzchołkach

A = (- 8, - 1)

i

D = (- 13, 9)

oraz środku symetrii

M = (- \frac{9}{2}, 1)

.

Okrąg

O

przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki

A B

i

B C

tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu

O

jest liczbą ujemną.

Wyznacz równanie okręgu

O

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Geometria analityczna

1 pkt

Odległość punktu

A = (6, 2)

od prostej o równaniu

5 x - 12 y + 1 = 0

jest równa

Zadanie 7 Geometria analityczna

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są:
okrąg o równaniu

(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 50

i punkty

A = (6, 4)

oraz

B = (- 6, 8)

.
Punkt

C

leży na tym okręgu i

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

.

Oblicz współrzędne punktu

C

. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

3 x + y + 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = x^{2} - 2 x - 8

w punktach

A

oraz

B

, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku

A B C D

. Wierzchołek

A

ma pierwszą współrzędną ujemną.

Wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - \frac{1}{2} x + 1

i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu

C

od prostej zawierającej bok

A B

równoległoboku jest równa

\frac{9 10}{5}

.

Oblicz długość boku

B C

tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

5 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

środek

S

okręgu o promieniu

5

leży na prostej o równaniu

y = x + 1

. Przez punkt

A = (1, 2)

, którego odległość od punktu

S

jest większa od

5

, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

B

i

C

. Pole czworokąta

A B S C

jest równe

15

.

Oblicz współrzędne punktu

S

. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Geometria analityczna

1 pkt

Dane są wektory

u = [4, - 5]

oraz

v = [- 1, - 5]

. Długość wektora

u - 4 v

jest równa

Zadanie 9 Geometria analityczna

4 pkt

W okrąg o równaniu

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25

wpisano trójkąt

A B C

. Bok

A B

tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu

4 x - 3 y + 2 = 0

. Wysokość

C D

tego trójkąta dzieli bok

A B

tak, że

∣ A D ∣ = 4 \cdot ∣ D B ∣

.

Oblicz pole trójkąta

A B C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta

l

o równaniu

x - y - 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = 4 x^{2} - 7 x + 1

w punktach

A

oraz

B

. Odcinek

A B

jest średnicą okręgu

O

. Punkt

C

leży na okręgu

O

nad prostą

l

, a kąt

B A C

jest ostry i ma miarę

α

taką, że

tg α = \frac{1}{3}

(zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu

C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Geometria analityczna

7 pkt

Okrąg

o_{1}

o środku w punkcie

S_{1}

jest określony równaniem

(x - 6)^{2} + (y + 1)^{2} = 16

. Okrąg

o_{2}

ma środek w punkcie

S_{2}

takim, że

S_{1} S_{2} = [- 4, 4]

. Promienie tych okręgów są sobie równe.
Figura

F

składa się z dwóch okręgów:

o_{1}

oraz

o_{2}

. Punkty

M

i

N

są punktami przecięcia figury

F

z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.
Wyznacz punkt

K

, leżący na jednej z osi symetrii figury

F

, taki, że pole trójkąta

M N K

jest równe

40

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16.1 Geometria analityczna

3 pkt

Rozważamy trójkąty

A B C

, w których

A = (0, 0)

,

B = (m, 0)

, gdzie

m \in (4, + \infty)

, a wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - 2 x

. Na boku

B C

tego trójkąta leży punkt

D = (3, 2)

.

a) Wykaż, że dla

m \in (4, + \infty)

pole

P

trójkąta

A B C

, jako funkcja zmiennej

m

, wyraża się wzorem

P (m) = \frac{m ^{2}}{m - 4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Geometria analityczna

1 pkt

Sumą wektorów

a = [2 + 2 m, \frac{2}{3} n + 1]

oraz

b = [n + 1, m + 2]

jest wektor

c = [0, 0]

.
Wynika stąd, że

Zbiór zadań

Wyniki