W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(1,−1) oraz B=(4,0) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym ∣CA∣=∣CB∣. Jedno z ramion trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu x+2y−4=0. Na boku AC tego trójkąta obrano taki punkt M, że ∣AM∣:∣MC∣=1:4.
Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
(x−56)2+(y+53)2=516
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
W układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(1,−1) oraz B=(4,0) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym ∣CA∣=∣CB∣. Jedno z ramion trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu x+2y−4=0. Na boku AC tego trójkąta obrano taki punkt M, że ∣AM∣:∣MC∣=1:4. Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2).
Wykaż, że pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
W układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2).
Wykaż, że pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A=(−8,−1) i D=(−13,9) oraz środku symetrii M=(−29,1).
Okrąg O przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu O jest liczbą ujemną.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są: okrąg o równaniu (x+1)2+(y−3)2=50 i punkty A=(6,4) oraz B=(−6,8). Punkt C leży na tym okręgu i ∣AC∣=∣BC∣.
Oblicz współrzędne punktu C. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) środek S okręgu o promieniu 5 leży na prostej o równaniu y=x+1. Przez punkt A=(1,2), którego odległość od punktu S jest większa od 5, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – B i C. Pole czworokąta ABSC jest równe 15.
Oblicz współrzędne punktu S. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu 3x+y+2=0 przecina parabolę o równaniu y=x2−2x−8 w punktach A oraz B, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną ujemną.
Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=−21x+1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa 5910.
Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
W okrąg o równaniu (x−1)2+(y−2)2=25 wpisano trójkąt ABC. Bok AB tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x−3y+2=0. Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB tak, że ∣AD∣=4⋅∣DB∣.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta l o równaniu x−y−2=0 przecina parabolę o równaniu y=4x2−7x+1 w punktach A oraz B. Odcinek AB jest średnicą okręgu O. Punkt C leży na okręgu O nad prostą l, a kąt BAC jest ostry i ma miarę α taką, że tg α=31 (zobacz rysunek).
Prosta k o równaniu x+y−9=0 przecina parabolę o równaniu y=41x2−23x+41 w punktach A oraz B. Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą ujemną. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C.
Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC.
Dane są okrąg o1 o równaniu (x−6)2+(y−4)2=98 oraz okrąg o2 o promieniu 25. Środki okręgów o1 i o2 leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y=−3x−6, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k. Wyznacz równanie okręgu o2.
Punkt A=(−3,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y=x−1.
Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
(x−56)2+(y+53)2=516
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.