Zbiór zadań

Znaleziono 25 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Wynik mnożenia jest równy $0$ gdy jeden z czynników jest równy $0$. Przyrównajmy do zera każdy z czynników tego równania:
   $$\begin{array}{rl}& x+3=0\\ & x=-3\end{array}\begin{array}{rl}& x-m=0\\ & x=m\end{array}\begin{array}{rl}& 2x+4=0\\ & 2x=-4\\ & x=-2\end{array}$$
2. Z treści zadania wiemy że suma rozwiązań jest równa $0$:
   $$-3+m+(-2)=0$$
3. Stąd:
   $$m=5$$

1. Dzielimy pierwsze równanie przez $20$, a drugie przez $26$, otrzymując prostszy układ:
   $$\{\begin{array}{l}x+y=\frac{1}{20}\\ x-y=\frac{1}{26}\end{array}$$
2. Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć $x_0$:
   $$2x=\frac{1}{20}+\frac{1}{26}=\frac{13+10}{260}=\frac{23}{260}⟹x_0=\frac{23}{520}$$
3. Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć $y_0$:
   $$2y=\frac{1}{20}-\frac{1}{26}=\frac{13-10}{260}=\frac{3}{260}⟹y_0=\frac{3}{520}$$
4. Obie liczby $x_0$ oraz $y_0$ są dodatnie, więc ich suma i iloczyn również są liczbami dodatnimi: obydwa stwierdzenia są prawdziwe (P, P).

1. Wszystkich drzew jest łącznie $198$, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje:
   $$x+y=198$$
2. Gdyby drzew iglastych było o $18$ więcej (czyli $x+18$), to drzew liściastych byłoby $3$ razy więcej niż iglastych. Liczba $y$ nie zmienia się, więc:
   $$y=3(x+18)$$
3. Otrzymany układ równań odpowiada odpowiedzi D.

1. Mnożymy równanie na krzyż:
   $$5(x+2)=2(3x-1)$$
2. Rozwiązujemy:
   $$\begin{array}{rl}5x+10& =6x-2\\ 10+2& =6x-5x\\ x& =12\end{array}$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero (czynnik $4$ nigdy nie jest zerem). Rozkładamy różnicę kwadratów $x^2-25=(x-5)(x+5)$:
   $$4(x-1{)}^2(x-5)(x+5)=0$$
2. Przyrównujemy każdy czynnik do zera:
   $$(x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1x-5=0\Rightarrow x=5x+5=0\Rightarrow x=-5$$
3. Otrzymujemy trzy różne rozwiązania: $x=-5$, $x=1$, $x=5$.

1. Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero:
   $$2x=0\vee x+3=0\vee x^2+25=0$$
2. Z pierwszych dwóch czynników otrzymujemy:
   $$\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-3\end{array}$$
3. Trzeci czynnik $x^2+25=0$ oznacza $x^2=-25$, a to nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.
4. Zatem równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: $(-3)$ oraz $0$.

1. Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik musi być różny od zera. Mianownik zeruje się dla $x=-2$ oraz $x=3$, więc dziedziną równania jest zbiór liczb $x\ne -2$ i $x\ne 3$.
2. Przyrównujemy licznik do zera:
   $$x+1=0⟹x=-1$$
3. Liczba $x=-1$ należy do dziedziny, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.

1. Podstawiamy $x=-1$, $y=6$ do pierwszego równania:
   $$acdot(-1)+3cdot6=20⟹-a+18=20⟹a=-2$$
2. Podstawiamy do drugiego równania:
   $$-1+bcdot6=5⟹6b=6⟹b=1$$
3. Obliczamy iloczyn:
   $$acdotb=(-2)cdot1=-2$$

1. Z pierwszego równania wyznaczamy $x$:
   $$x=3y-5$$
2. Podstawiamy do drugiego równania:
   $$2(3y-5)+y+3=0⟹6y-10+y+3=0⟹7y=7⟹y=1$$
3. Wyznaczamy $x$:
   $$x=3\cdot 1-5=-2$$