Zbiór zadań

Znaleziono 41 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Mnożymy równanie na krzyż (zakładając, że $3x-1\ne 0$).
   $$5(x+2)=2(3x-1)$$
2. Wymnażamy nawiasy po obu stronach.
   $$5x+10=6x-2$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą.
   $$\begin{array}{rl}& 10+2=6x-5x\\ & 12=x\end{array}$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero. Z czynnika $2x=0$ otrzymujemy:
   $$x=0$$
2. Z czynnika $x^2-3=0$ otrzymujemy:
   $$x^2=3⟹x=-\sqrt{3}\text{lub}x=\sqrt{3}$$
3. Ostatni czynnik to równanie kwadratowe $x^2+2x+3$:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0$$
4. Ujemny delta oznacza brak rozwiązań rzeczywistych. Więc łącznie równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste: $x=0$, $x=-\sqrt{3}$, $x=\sqrt{3}$.

1. Wynik mnożenia jest równy $0$ gdy jeden z czynników jest równy $0$. Przyrównajmy do zera każdy z czynników tego równania:
   $$\begin{array}{rl}& x+3=0\\ & x=-3\end{array}\begin{array}{rl}& x-m=0\\ & x=m\end{array}\begin{array}{rl}& 2x+4=0\\ & 2x=-4\\ & x=-2\end{array}$$
2. Z treści zadania wiemy że suma rozwiązań jest równa $0$:
   $$-3+m+(-2)=0$$
3. Stąd:
   $$m=5$$

1. Wszystkich drzew jest łącznie $198$, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje:
   $$x+y=198$$
2. Gdyby drzew iglastych było o $18$ więcej (czyli $x+18$), to drzew liściastych byłoby $3$ razy więcej niż iglastych. Liczba $y$ nie zmienia się, więc:
   $$y=3(x+18)$$
3. Otrzymany układ równań odpowiada odpowiedzi D.

1. Mnożymy równanie na krzyż:
   $$5(x+2)=2(3x-1)$$
2. Rozwiązujemy:
   $$\begin{array}{rl}5x+10& =6x-2\\ 10+2& =6x-5x\\ x& =12\end{array}$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zapisuję dwa równania.
   $$\begin{array}{rl}& 27x^3+1=0\\ & x^2-4=0\end{array}$$
2. Rozwiązuję pierwsze równanie, korzystając z definicji pierwiastka trzeciego stopnia.
   $$\begin{array}{rl}& 27x^3=-1\\ & x^3=-\frac{1}{27}\\ & x=\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}\end{array}$$
3. Rozwiązuję drugie równanie.
   $$\begin{array}{rl}& x^2=4\\ & x=-2\text{ lub }x=2\end{array}$$
4. Łączę rozwiązania obu równań w zbiór rozwiązań równania wyjściowego.
   $$x=-2,x=-\frac{1}{3},x=2$$

1. Mnożę obie strony równania przez $(x-1)\cdot 3x$, aby pozbyć się mianowników.
   $$(3x+4)\cdot 3x=(x-1)(x+3)$$
2. Wykonuję mnożenia po obu stronach i porządkuję wyrazy.
   $$\begin{array}{rl}& 9x^2+12x=x^2+3x-x-3\\ & 9x^2+12x=x^2+2x-3\\ & 8x^2+10x+3=0\end{array}$$
3. Obliczam wyróżnik trójmianu kwadratowego $8x^2+10x+3$.
   $$\Delta =10^2-4\cdot 8\cdot 3=100-96=4$$
4. Obliczam pierwiastki równania.
   $$\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{-10-\sqrt{4}}{2\cdot 8}=-\frac{3}{4}\\ x_2& =\frac{-10+\sqrt{4}}{2\cdot 8}=-\frac{1}{2}\end{array}$$
5. Sprawdzam, że obie liczby spełniają założenia $x\ne 0$ i $x\ne 1$, więc są rozwiązaniami równania.

1. Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero (czynnik $4$ nigdy nie jest zerem). Rozkładamy różnicę kwadratów $x^2-25=(x-5)(x+5)$:
   $$4(x-1{)}^2(x-5)(x+5)=0$$
2. Przyrównujemy każdy czynnik do zera:
   $$(x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1x-5=0\Rightarrow x=5x+5=0\Rightarrow x=-5$$
3. Otrzymujemy trzy różne rozwiązania: $x=-5$, $x=1$, $x=5$.

1. Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero:
   $$2x=0\vee x+3=0\vee x^2+25=0$$
2. Z pierwszych dwóch czynników otrzymujemy:
   $$\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-3\end{array}$$
3. Trzeci czynnik $x^2+25=0$ oznacza $x^2=-25$, a to nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.
4. Zatem równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: $(-3)$ oraz $0$.

1. Oznaczmy przez $x$ kwotę przyznaną zespołowi A, a przez $y$ kwotę przyznaną zespołowi B. Warunki zadania zapisujemy w postaci układu równań:
   $$\{\begin{array}{l}x+y=1200000\\ 0,13x+0,11y=146700\end{array}$$
2. Z pierwszego równania wyznaczamy $y=1200000-x$ i podstawiamy do drugiego:
   $$0,13x+0,11(1200000-x)=146700$$
3. Wymnażamy nawias i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 0,13x+132000-0,11x=146700\\ & 0,02x=14700\\ & x=735000\end{array}$$
4. Zespołowi A przyznano kwotę $735000$ zł.

1. Iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Wyznaczamy rozwiązania z każdego czynnika:
   $$3x-12=0⟹x=4$$
2. Z drugiego czynnika:
   $$10+5x=0⟹x=-2$$
3. Z trzeciego czynnika:
   $$x-3=0⟹x=3$$
4. Obliczamy sumę wszystkich rozwiązań:
   $$4+(-2)+3=5$$