Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, czyli prostej $x=-3$.
2. Punkty $t$ i $-9$ dają tę samą wartość funkcji, więc są symetryczne względem $x=-3$. Odległość punktu $-9$ od osi symetrii wynosi:
   $$-3-(-9)=6$$
3. Punkt $t$ leży w tej samej odległości po drugiej stronie osi symetrii:
   $$t=-3+6=3$$

1. Wykres przechodzi przez punkty $(-2,0)$ oraz $(0,-3)$, więc współczynnik kierunkowy (równy tangensowi kąta nachylenia do osi $Ox$) jest równy:
   $$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}$$

1. Wzór $g(x)=f(x-5)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $5$ jednostek w prawo wzdłuż osi $Ox$, bez zmiany współrzędnej $y$.
2. Wierzchołek $W=(-3,7)$ przesuwa się więc do punktu:
   $$(-3+5,7)=(2,7)$$

1. Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej. Mała wartość $\sin \alpha =\frac{1}{4}$ oznacza, że kąt $\alpha$ jest mały, więc przyprostokątna naprzeciw niego jest krótsza.
   $$\sin \alpha =\frac{\text{kroˊtsza przyprostokątna}}{8}$$
2. Wyznaczamy krótszą przyprostokątną.
   $$\begin{array}{rl}& \text{kroˊtsza przyprostokątna}=8\cdot \sin \alpha \\ & \text{kroˊtsza przyprostokątna}=8\cdot \frac{1}{4}=2\end{array}$$

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$. Z warunku $a_5=17$ wyznaczamy różnicę $r$:
   $$\begin{array}{rl}& a_5=a_1+4r\\ & 17=1+4r\\ & r=4\end{array}$$
2. Obliczamy dziewiąty wyraz ciągu:
   $$a_9=a_1+8r=1+8\cdot 4=33$$

1. Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, odejmując za każdym razem $6$ od poprzedniego wyrazu:
   $$\begin{array}{rl}{a}_1& =2\\ a_2& =2-6=-4\\ a_3& =-4-6=-10\\ a_4& =-10-6=-16\\ a_5& =-16-6=-22\end{array}$$

1. Wzór rekurencyjny $a_{n+1}=a_n-6$ oznacza, że różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi $-6$ — ciąg jest więc arytmetyczny (P).
2. Ponieważ różnica ciągu jest ujemna ($r=-6<0$), każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego — ciąg jest malejący (P).

1. Policzmy kilka pierwszych wyrazów. Wzór $a_{n+1}=a_n+2$ mówi, że każdy następny wyraz powstaje przez dodanie $2$ do poprzedniego:
   $$\begin{array}{rl}{a}_1& =5\\ a_2& =a_1+2=5+2=7\\ a_3& =a_2+2=7+2=9\\ a_4& =a_3+2=9+2=11\end{array}$$
2. Można zauważyć, że za każdym razem dodajemy tę samą liczbę $2$, więc różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała i wynosi $2$. Dokładnie tak zachowuje się ciąg arytmetyczny, dlatego $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie $a_1=5$ i różnicy $r=2$.
3. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
   $$S_{100}=\frac{100}{2}\left(2a_1+99r\right)=50\left(10+198\right)=50\cdot 208=10400$$

1. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\cos \alpha$. Kąt jest ostry, więc $\cos \alpha$ jest dodatni.
   $$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ & {\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\\ & \cos \alpha =\frac{4}{5}\end{array}$$
2. Tangens to iloraz sinusa i cosinusa tego samego kąta.
   $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$$

1. Zapisujemy wyrazy $a_3$, $a_6$, $a_2$ i $a_7$ za pomocą pierwszego wyrazu $a_1$ i ilorazu $q$.
   $$\begin{array}{rl}& a_3=a_1{q}^2\\ & a_6=a_1{q}^5\\ & a_2=a_{1}q\\ & a_7=a_1{q}^6\end{array}$$
2. Mnożymy $a_3$ przez $a_6$ oraz $a_2$ przez $a_7$ — w obu iloczynach suma wykładników przy $q$ jest taka sama (bo $3+6=2+7=9$), więc oba iloczyny są sobie równe.
3. Skoro oba iloczyny to to samo wyrażenie, to $a_2\cdot a_7$ jest równe $a_3\cdot a_6$.