Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wiemy, że dwusieczna kąta $KML$ dzieli przeciwległy bok $KL$ na odcinki proporcjonalne do boków, między którymi ten kąt jest zawarty:
   $$\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|}$$
2. Podstawiamy oznaczenia z treści zadania:
   $$\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$$
3. Mnożymy obie strony na krzyż:
   $$a\cdot d=b\cdot c$$

1. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku $AB$ jest dwa razy większy od kąta wpisanego:
   $$\alpha =2\cdot 60°=120°$$
2. Długość łuku $AB$ to taka część obwodu okręgu, jaką częścią pełnego kąta $360°$ jest kąt środkowy $120°$:
   $$|AB|=\frac{120°}{360°}\cdot 2\pi r=\frac{1}{3}\cdot 2\pi \cdot 6=4\pi$$

1. Łuk $AB$ (niezawierający punktu $C$) stanowi $\frac{1}{5}$ długości okręgu, więc odpowiadający mu kąt środkowy $ASB$ jest równy:
   $$\angle ASB=\frac{1}{5}\cdot 360°=72°$$
2. Kąt wpisany $ACB$ jest oparty na tym samym łuku $AB$ co kąt środkowy $ASB$, więc jest od niego dwukrotnie mniejszy:
   $$\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot \angle ASB=\frac{1}{2}\cdot 72°=36°$$

1. Punkty $A$ i $C$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu, więc odcinek $AC$ jest jego przekątną. Obliczamy jej długość ze wzoru na odległość punktów:
   $$|AC|=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(4-(-1){)}^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$
2. Bok kwadratu o przekątnej $d$ ma długość $\frac{d}{\sqrt{2}}$, więc:
   $$a=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5$$

1. Pole równoległoboku o bokach $p$, $q$ i kącie $\alpha$ zawartym między nimi obliczamy ze wzoru:
   $$P=p\cdot q\cdot \sin \alpha$$
2. Podstawiamy dane ($p=3$, $q=4$, $\alpha =120°$), korzystając z $\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$:
   $$P=3\cdot 4\cdot \sin 120°=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$$

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta $l$ ma równanie postaci $y=-7x+b$. Skoro przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$, to $b=6$:
   $$l:y=-7x+6$$
2. Podstawiamy $x=1$, aby obliczyć $p$:
   $$p=-7\cdot 1+6=-1$$

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
   $$\begin{array}{rl}& 3m-2=2m+4\\ & m=6\end{array}$$
2. Sprawdzamy, że dla $m=6$ proste są rzeczywiście różne — mają różne wyrazy wolne ($-2$ oraz $2$), więc się nie pokrywają.

1. Kąt środkowy $ASB$ oparty na tym samym łuku $AB$ co kąt wpisany $ACB$ jest dwa razy większy od kąta wpisanego:
   $$|\angle ASB|=2\cdot |\angle ACB|=2\cdot 42°=84°$$
2. Odcinki $SA$ i $SB$ są promieniami tego samego okręgu, więc trójkąt $ASB$ jest równoramienny, a kąty przy podstawie $AB$ są równe:
   $$|\angle SAB|=|\angle SBA|=\frac{180°-84°}{2}=48°$$
3. Kąt $BAS$ to ten sam kąt co $SAB$, więc jego miara jest równa $48°$.

1. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$:
   $$(m+1)\cdot (-2)=-1$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& -2m-2=-1\\ & -2m=1\\ & m=-\frac{1}{2}\end{array}$$

1. Środek okręgu to środek odcinka $AB$ (średnicy):
   $$S=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{7+(-1)}{2}\right)=(1,3)$$
2. Promień to połowa długości $AB$. Obliczamy najpierw kwadrat długości $AB$:
   $$|AB{|}^2=(6-(-4){)}^2+(-1-7{)}^2=10^2+(-8{)}^2=164$$
3. Kwadrat promienia to jedna czwarta tej wartości:
   $$r^2=\frac{164}{4}=41$$
4. Zapisujemy równanie okręgu:
   $$(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=41$$

1. Okrąg $o_1$ ma środek $(1,2)$ i promień $r=1$. Odległość środka od osi $Ox$ to $2$, a od osi $Oy$ to $1$ - odległość od $Oy$ jest równa promieniowi, więc okrąg jest styczny do osi $Oy$ (ma z nią punkt wspólny).
2. Okrąg $o_2$ ma środek $(-1,-2)$ i promień $r=3$. Odległość środka od osi $Ox$ to $2$, czyli mniej niż promień, więc okrąg przecina oś $Ox$ (ma z nią punkty wspólne).
3. Okrąg $o_3$ ma środek $(3,4)$ i promień $r=2$. Odległość środka od osi $Ox$ to $4$, a od osi $Oy$ to $3$ - obie odległości są większe od promienia $2$, więc ten okrąg nie ma żadnego punktu wspólnego z żadną z osi.
4. Okrąg $o_4$ ma środek $(-3,-4)$ i promień $r=4$. Odległość środka od osi $Ox$ to $4$, czyli tyle, ile wynosi promień, więc okrąg jest styczny do osi $Ox$ (ma z nią punkt wspólny). Zatem szukanym okręgiem jest $o_3$.

1. Sprawdzamy, czy punkt $(-1,-3)$ spełnia równanie okręgu, podstawiając jego współrzędne:
   $$(-1-1{)}^2+(-3+2{)}^2=(-2{)}^2+(-1{)}^2=4+1=5$$
2. Lewa strona jest równa prawej stronie równania okręgu, więc punkt $(-1,-3)$ należy do okręgu $\mathcal{O}$ — stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Z równania okręgu $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5$ odczytujemy, że $r^2=5$, czyli $r=\sqrt{5}$, a nie $5$ — stwierdzenie jest fałszywe (F).