Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 3. Zapisz obliczenia.
Właściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów: x kg pomidorów malinowych w cenie 11 złotych za kilogram oraz y kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych. Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ___. 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ___.
W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ___. 2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ___. 3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ___ procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.
Liczba punktów
0
1
2
3
4
5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów
4
2
5
5
11
5
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie ___ uczniów tej klasy. 2. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ___. 3. Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ___.
W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów.
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15 (zobacz rysunek).
Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 3.
Hotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że: • przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte • każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1. Przyjmijmy, że dobowy przychód P hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5x złotych, opisuje funkcja
P(x)=(80−x)(120+5x)
gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x≥0 i x≤80.
Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.
Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem
Z(x)=(500+50x)(16−x)
gdzie: x – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki x≥1 i x≤14, Z – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.
Roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla x równego
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n−132⋅(−1)n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzywyrazowy ciąg (x,a6,2x+10), gdzie x jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny.
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Wysokość podstawy ABC jest równa 23. Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze 60° (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
W układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A=(−4,7) oraz B=(12,3). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie C. Symetralna odcinka AB przecina oś Ox w punkcie D.
Oblicz współrzędne punktów C i D oraz pole trójkąta ACD.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Obliczamy sumę pierwszych pięciu liczb i wyznaczamy x+y:
15+x+y=21⟹x+y=6
Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb oczek (x,y), gdzie x,y∈{1,2,3,4,5,6}, więc:
∣Ω∣=6⋅6=36
Szukamy liczb dwucyfrowych xy=10x+y nieparzystych (czyli y∈{1,3,5}) i jednocześnie podzielnych przez 3 (czyli x+y podzielne przez 3). Sprawdzamy kolejno możliwe pary (x,y):
(2,1),(5,1),(3,3),(6,3),(1,5),(4,5)
Odpowiadają im liczby 21,51,33,63,15,45 — wszystkie są nieparzyste i podzielne przez 3. Zdarzeń sprzyjających jest zatem 6:
∣A∣=6
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
P(A)=∣Ω∣∣A∣=366=61
x=51 kg
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Sumujemy sześć podanych liczb, wyłączając wspólny czynnik 5:
2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5(a+b+c)=5⋅36=180
Średnią arytmetyczną otrzymujemy, dzieląc sumę przez liczbę składników, czyli 6:
6180=30
1. Mediana =4,5; 2. Dominanta =6
Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów, którzy otrzymali każdą ocenę:
ocenę 1 - 1 uczeń
ocenę 2 - 3 uczniów
ocenę 3 - 4 uczniów
ocenę 4 - 4 uczniów
ocenę 5 - 5 uczniów
ocenę 6 - 7 uczniów
Sprawdzian pisało łącznie:
1+3+4+4+5+7=24
Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna 12. i 13. wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na 12 i 13 miejscu.
ocenę 1 - 1 uczeń - suma 1
ocenę 2 - 3 uczniów - suma 4
ocenę 3 - 4 uczniów - suma 8
ocenę 4 - 4 uczniów - suma 12 - miejsce 12 jest tutaj
ocenę 5 - 5 uczniów - suma 17 - miejsce 13 jest tutaj
ocenę 6 - 7 uczniów
Obliczamy medianę:
M=24+5=4,5
Dominantą (modą) jest ocena występująca najczęściej — jest to ocena 6, którą otrzymało najwięcej uczniów, czyli 7.
Samochodów z co najmniej dwiema usterkami jest 10+6+2+2=20, a z dokładnie jedną usterką jest 16. Obliczamy, jaki procent liczby 16 stanowi liczba 20:
1620⋅100%=125%
1. 11; 2. Me=3,5; 3. Mo=4
Obliczamy średnią arytmetyczną liczby punktów: mnożymy każdy wynik przez liczbę uczniów, którzy go uzyskali, sumujemy i dzielimy przez 32:
xˉ=320⋅4+1⋅2+2⋅5+3⋅5+4⋅11+5⋅5=3296=3
Wynik niższy od średniej (3) to 0, 1 lub 2 punkty. Liczymy uczniów z takim wynikiem:
4+2+5=11
Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie 32 wyniki w kolejności niemalejącej i szukamy 16. oraz 17. wyrazu. Uczniów z wynikiem nie większym niż 2 jest 4+2+5=11, a z wynikiem nie większym niż 3 jest 11+5=16, więc 16. wyraz to 3. Kolejny, 17. wyraz, należy już do grupy 11 uczniów z wynikiem 4, więc jest równy 4:
Dominantą jest wynik, który wystąpił najczęściej — najliczniejsza jest grupa 11 uczniów z wynikiem 4 punkty, więc:
Mo=4
xˉ=1,875, Me=1,5
Z diagramu odczytujemy liczbę samochodów z poszczególną liczbą wykrytych usterek:
1 usterka - 16 samochodów
2 usterki - 10 samochodów
3 usterki - 2 samochody
4 usterki - 2 samochody
5 usterek - 2 samochody
Łącznie przeglądom podlegało:
16+10+2+2+2=32
Obliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek:
xˉ=3216⋅1+10⋅2+2⋅3+2⋅4+2⋅5=3260=1,875
Liczba przeglądów jest parzysta (32), więc medianą jest średnia arytmetyczna wyniku na 16. i 17. miejscu w uporządkowanym niemalejąco ciągu. Szukamy, ile usterek odpowiada tym miejscom.
1 usterka - 16 samochodów - suma 16 - miejsce 16. jest tutaj
2 usterki - 10 samochodów - suma 26 - miejsce 17. jest tutaj
3 usterki - 2 samochody - suma 28
4 usterki - 2 samochody - suma 30
5 usterek - 2 samochody - suma 32
Obliczamy medianę:
Me=21+2=1,5
P(x)=−2x2+22x+88, D=(0,11), x=211
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
To funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy x2, więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół — największą wartość przyjmuje w wierzchołku, dla x=−2ab:
x=−2⋅(−50)300=100300=3
Liczba x=3 spełnia warunki x≥1 i x≤14, więc roczny zysk jest największy dla x=3.
x=−38, r=311
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.