Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas. Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.
P
F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.
P
F
1.
2.
Poprawna odpowiedź
PP
Odczytujemy z diagramów liczby uczniów z poszczególnymi ocenami. W obu klasach jest po 20 uczniów.
Dany jest sześcioelementowy zbiór K={2,3,4,5,6,7}. Ze zbioru K losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od 16.
Dany jest sześcioelementowy zbiór K={2,3,4,5,6,7}. Ze zbioru K losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od 16. Zapisz obliczenia.
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Rozważamy wszystkie trójkąty DEF spełniające jednocześnie następujące warunki: • punkt E leży na boku AB kwadratu ABCD • punkt F leży na boku BC kwadratu ABCD • ∣CF∣=21⋅∣EB∣=x, gdzie x∈(0,2) (zobacz rysunek).
Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x odcinka CF.
Wyznacz wzór funkcji P zmiennej x, gdzie x∈(0,2). Oblicz długość x odcinka CF, dla której pole trójkąta DEF jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.
W układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(3,−2). Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f wzorem g(x)=f(x+1). Jednym z miejsc zerowych funkcji g jest liczba 0.
W układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym D=(6,19).
Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y=21x+9,
a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y=4x−5.
Punkt K=(10,14) jest środkiem odcinka AB.
Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S.
Oblicz odległość punktu S od początku układu współrzędnych.
Odcinek AD jest wysokością walca, a odcinek AB jest średnicą podstawy walca.
Odcinek BD ma długość 43. Miara kąta ABD jest równa 30° (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.
W chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem
h(t)=−4,9t2+14,7t
gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.
Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili
W chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem
h(t)=−4,9t2+14,7t
gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.
Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili
W układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(−4,−2) i B=(−2,10) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣. Wierzchołek C leży na osi Ox układu współrzędnych.
Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz pole trójkąta ABC.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Obliczamy średnią klasy IV B:
201⋅1+2⋅3+3⋅6+4⋅6+5⋅3+6⋅1=2070=3,5
Średnie są równe, pierwsze zdanie jest prawdziwe.
W obu klasach 10. i 11. wyraz uporządkowanego ciągu ocen to odpowiednio 3 i 4, więc mediana w obu klasach wynosi 23+4=3,5, drugie zdanie jest prawdziwe.
P(A)=307
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Obliczamy liczbę meczów odpowiadającą każdemu wycinkowi diagramu (50 meczów; wycinki to kolejno 8%,42%,32%,12%,6% dla 0,1,2,3,4 goli):
0 goli:4,1 gol:21,2 gole:16,3 gole:6,4 gole:3
Mediana 50 wyników to średnia arytmetyczna 25. i 26. wyrazu uporządkowanego ciągu. Skumulowane liczebności: po wyniku 0 goli — 4 mecze, po wyniku 1 gol łącznie 4+21=25 meczów, po wyniku 2 gole łącznie 25+16=41 meczów.
Zatem 25. wyraz to 1 (ostatni z grupy „1 gol”), a 26. wyraz to 2 (pierwszy z grupy „2 gole”). Mediana:
21+2=1,5
P(x)=x2−2x+8 dla x∈(0,2); x=1
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Współczynnik przy (x−π)2 jest ujemny (−5), więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek w punkcie x=π jest miejscem, w którym funkcja przyjmuje największą wartość.
Ponieważ π≈3,14∈[0,6], wartość największa w tym przedziale jest osiągana dla:
x=π
A.0
B.3
C.π
D.6
A. 0
Ponieważ parabola ma ramiona skierowane w dół z wierzchołkiem w x=π, na przedziale domkniętym wartość najmniejsza jest osiągana w tym końcu przedziału, który jest dalej od π.
Porównujemy odległości końców przedziału od π: π−0=π≈3,14 oraz 6−π≈2,86.
Punkt x=0 jest dalej od wierzchołka niż x=6, więc to w x=0 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale [0,6]:
x=0
V=18π3, Pc=18π+12π3
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.