Zbiór zadań

Znaleziono 199 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Suma dwóch liczb naturalnych jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby mają tę samą parzystość (obie parzyste albo obie nieparzyste). Skoro suma liczb na DOWOLNYCH dwóch kulach pozostałych w pudełku jest parzysta, to wszystkie pozostałe kule muszą mieć tę samą parzystość.
2. Wśród liczb od $1$ do $11$ jest sześć liczb nieparzystych ($1,3,5,7,9,11$) i tylko pięć liczb parzystych ($2,4,6,8,10$). W pudełku po losowaniu zostało sześć kul, a parzystych liczb jest zbyt mało (tylko pięć), więc te sześć kul nie może być parzystych. Zatem w pudełku zostały wyłącznie liczby nieparzyste (odpowiedź A).
3. Skoro w pudełku zostały wszystkie liczby nieparzyste, to wylosowanych zostało pięć pozostałych liczb, czyli wszystkie liczby parzyste od $1$ do $11$. Obliczamy ich sumę:
   $$2+4+6+8+10=30$$
4. Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa $30$ (odpowiedź C).

1. Oznaczmy cenę jednej ładowarki przez $x$. Dysk USB jest $2$ razy tańszy od ładowarki, więc jego cena to $\frac{x}{2}$, a komplet słuchawek jest $4$ razy droższy od ładowarki, więc jego cena to $4x$.
2. Aleks kupił jeden komplet słuchawek, dwie ładowarki i dwa dyski USB — zapisujemy sumę kosztów:
   $$4x+2x+2\cdot \frac{x}{2}$$
3. Upraszczamy wyrażenie, redukując wyrazy podobne:
   $$4x+2x+x=7x$$

1. Skoro w każdym z $10$ koszy jest tyle samo owoców, a łącznie jest ich $400$, to w jednym koszu jest:
   $$T=\frac{400}{10}=40$$
2. Niech $p$ oznacza liczbę pomarańczy w jednym koszu. Wtedy liczba jabłek w tym koszu to $p+6$. Razem w jednym koszu jest $40$ owoców, więc układamy równanie:
   $$p+(p+6)=40$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2p+6=40\\ & 2p=34\\ & p=17\end{array}$$
4. Liczba jabłek w jednym koszu to $p+6=17+6=23$. Łącznie w $10$ koszach jest:
   $$23\cdot 10=230$$

1. Zapisujemy sumę trzech kolejnych liczb naturalnych i upraszczamy wyrażenie:
   $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$$
2. Wyłączamy $3$ przed nawias:
   $$3n+3=3(n+1)$$
3. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to $(n+1)$ też jest liczbą naturalną, więc suma $3(n+1)$ jest zawsze podzielna przez $3$ (odpowiedź B).

1. Zapisujemy liczby $x$ i $z$ w postaci dziesiętnej (przesuwamy przecinek o tyle miejsc, ile wskazuje wykładnik potęgi):
   $$x=5,27\cdot 10^{-3}=0,00527,z=1400\cdot 10^{-5}=0,014$$
2. Liczba $y=0,0023$ jest już zapisana w postaci dziesiętnej. Porównujemy wszystkie trzy liczby, patrząc kolejno na cyfry po przecinku:
   $$0,0023<0,00527<0,014$$
3. Zatem najmniejsza jest liczba $y$, potem $x$, a największa jest $z$:
   $$y<x<z$$

1. Kwiecień ma $30$ dni, więc wszystkich możliwych wyników losowania jest $30$.
2. Wtorki w tym kalendarzu wypadają $2$, $9$, $16$, $23$ i $30$ dnia miesiąca, czyli jest ich $5$. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$$
3. To odpowiada literze B.
4. Aby prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez pewną liczbę było równe $\frac{2}{15}$, liczba dni spełniających warunek musi wynosić:
   $$\frac{2}{15}\cdot 30=4$$
5. Wśród liczb od $1$ do $30$ dokładnie $4$ liczby są podzielne przez $7$: $7,14,21,28$. Zatem szukaną liczbą jest $7$, co odpowiada literze D.

1. Odcinek $KM$ jest podzielony na $10$ równych części, więc kolejne punkty podziału różnią się o stałą wartość $d$. Z rysunku odczytujemy, że współrzędna $6$ leży $3$ działki od punktu $K$, a współrzędna $21$ leży $8$ działek od punktu $K$ (czyli $5$ działek dalej niż $6$):
   $$21-6=5d⟹d=3$$
2. Punkt $K$ leży $3$ działki przed współrzędną $6$, więc:
   $$K=6-3d=6-9=-3$$
3. Punkt $L$ leży $1$ działkę za współrzędną $6$ (czyli $4$ działki od $K$), a punkt $M$ kończy podział (czyli leży $10$ działek od $K$):
   $$L=K+4d=-3+12=9,M=K+10d=-3+30=27$$
4. Obliczamy wszystkie cztery sumy:
   $$\begin{array}{rl}& K+L+M=-3+9+27=33\\ & K+L=-3+9=6\\ & K+M=-3+27=24\\ & L+M=9+27=36\end{array}$$
5. Jedynie $36$ jest podzielne przez $9$ (bo $36:9=4$), więc poprawną odpowiedzią jest suma $L+M$.

1. Podstawiamy $n=100$ do wzoru na sumę:
   $$S=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 101=5050$$
2. To odpowiada literze B. Teraz przekształcamy wzór, mnożąc wyrażenie w nawiasie przez $\frac{1}{2}n$:
   $$S=\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$$
3. To odpowiada literze D. Prawidłowe odpowiedzi to B oraz D.

1. Ze średniej arytmetycznej liczb $x$ i $y$ wyznaczamy ich sumę:
   $$\frac{x+y}{2}=4⟹x+y=8$$
2. Ze średniej arytmetycznej liczb $x$, $y$, $z$ wyznaczamy sumę wszystkich trzech:
   $$\frac{x+y+z}{3}=5⟹x+y+z=15$$
3. Podstawiamy $x+y=8$ i obliczamy $z$:
   $$z=15-(x+y)=15-8=7$$

1. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, a kąt między jego ramionami (przy wierzchołku $C$) jest równy $80°$. Oba kąty przy podstawie $AB$ są więc równe:
   $$\angle CAB=\angle CBA=\frac{180°-80°}{2}=50°$$
2. Trójkąt $ABD$ jest równoramienny, a kąt między jego ramionami (przy wierzchołku $B$) jest równy $40°$. Oba kąty przy podstawie $AD$ są więc równe:
   $$\angle DAB=\angle ADB=\frac{180°-40°}{2}=70°$$
3. Odcinek $AC$ leży wewnątrz kąta $DAB$, więc kąt $DAC$ to różnica kątów $DAB$ i $CAB$:
   $$\angle DAC=\angle DAB-\angle CAB=70°-50°=20°$$
4. W trójkącie $ASB$ kąt przy wierzchołku $A$ to $\angle CAB=50°$ (bo $S$ leży na odcinku $AC$), a kąt przy wierzchołku $B$ to $\angle DBA=40°$ (bo $S$ leży na odcinku $BD$). Z sumy kątów w trójkącie obliczamy kąt $ASB$:
5. Kąt $90°$ jest kątem prostym, więc kąt $ASB$ jest prosty, a miara kąta $DAC$ jest równa $20°$.

1. Obliczamy wyrażenie I, zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:
   $$2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}⟹1-\frac{8}{3}\cdot 3=1-8=-7$$
2. Wartość wyrażenia I to liczba całkowita $-7$.
3. Obliczamy wyrażenie II:
   $$3,4-2\frac{1}{4}=3,4-2,25=1,15$$
4. Wartość wyrażenia II nie jest liczbą całkowitą.
5. Obliczamy wyrażenie III:
   $$3\frac{3}{4}-4,25=3,75-4,25=-0,5$$
6. Wartość wyrażenia III nie jest liczbą całkowitą.
7. Obliczamy wyrażenie IV:
   $$6:1,2=5$$
8. Wartość wyrażenia IV to liczba całkowita $5$. Liczbami całkowitymi są więc wartości wyrażeń I oraz IV.

1. Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ dana jest wzorem $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Podstawiamy $a=2$:
   $$h=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$
2. Zgadza się to z pierwszym zdaniem, więc jest ono prawdziwe (P).
3. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ dane jest wzorem $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $a=2$:
4. Zgadza się to z drugim zdaniem, więc jest ono prawdziwe (P).

1. Średnia arytmetyczna ośmiu liczb jest równa $9$, więc suma tych liczb wynosi:
   $$8\cdot 9=72$$
2. Po dopisaniu dziewiątej liczby równej $9$ nowa suma i nowa liczba wszystkich liczb wynoszą odpowiednio:
   $$72+9=81,9\text{ liczb}$$
3. Nowa średnia arytmetyczna:
   $$\frac{81}{9}=9$$
4. Średnia arytmetyczna się nie zmieniła, bo dopisana liczba była równa dotychczasowej średniej.

1. Obliczamy czas trwania wycieczki: od $11:40$ do $13:00$ minęła $1$ godzina i $20$ minut. Zamieniamy to na godziny:
   $$1\text{h}20\text{min}=1\frac{20}{60}\text{h}=\frac{4}{3}\text{h}$$
2. Prędkość obliczamy, dzieląc drogę przez czas:
   $$v=\frac{s}{t}=\frac{28}{\frac{4}{3}}=28\cdot \frac{3}{4}=21$$
3. Prędkość Ali była równa $21\frac{\text{km}}{\text{h}}$.