Zbiór zadań

Znaleziono 97 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $a$ - długość krawędzi podstawy (kwadratu)
   • $h$ - długość krawędzi bocznej (wysokości graniastosłupa)

   Z treści zadania wiemy, że $a=7$, a krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.
   $$h=2\cdot 7=14$$
2. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to iloczyn pola podstawy (kwadratu o boku $a$) i wysokości $h$.
   $$V=a^2\cdot h$$
3. Podstawiamy dane wartości i obliczamy objętość.
   $$V=7^2\cdot 14=49\cdot 14=686$$

1. Przyjmujemy oznaczenia: $A,B,C$ - wierzchołki podstawy ostrosłupa, $a$ - długość krawędzi podstawy, $R$ - promień okręgu opisanego na podstawie, $H$ - wysokość ostrosłupa. Podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym, więc promień okręgu opisanego na niej wynosi $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, skąd $a=R\sqrt{3}$.
2. Obliczamy pole $P_p$ podstawy ostrosłupa:
   $$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(R\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$$
3. Ponieważ $H+R=6$, mamy $H=6-R$. Obliczamy objętość $V$ ostrosłupa:
   $$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\cdot (6-R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (6R^2-R^3)$$

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $x$ - liczba klocków w kształcie sześcianu
   • $3x$ - liczba klocków w kształcie ostrosłupów trójkątnych

   Ostrosłup trójkątny ma $6$ krawędzi, a sześcian ma $12$ krawędzi. Zapisujemy równanie na łączną liczbę krawędzi wszystkich klocków i rozwiązujemy je:
   $$\begin{array}{rl}& 6\cdot 3x+12\cdot x=720\\ & 18x+12x=720\\ & 30x=720\\ & x=24\end{array}$$

1. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery przystające ściany boczne. Skoro jedna ściana boczna ma pole $\frac{2}{9}P$, to pole powierzchni bocznej (suma wszystkich czterech ścian) jest równe:
   $$4\cdot \frac{2}{9}P=\frac{8}{9}P$$
2. Pole powierzchni bocznej jest równe $\frac{8}{9}P$ (odpowiedź B).
3. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej, więc pole podstawy obliczamy jako różnicę:
   $$P-\frac{8}{9}P=\frac{1}{9}P$$
4. Porównujemy pole podstawy $\frac{1}{9}P$ z polem jednej ściany bocznej $\frac{2}{9}P$:
   $$\frac{1}{9}P=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{9}P$$
5. Pole podstawy jest więc dwa razy mniejsze niż pole jednej ściany bocznej (odpowiedź C).

1. Obliczamy wysokość ostrosłupa, korzystając ze wzoru na jego objętość.
   $$\begin{array}{rl}& V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H\\ & 324=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 9\cdot H\\ & 324=27\cdot H\\ & H=\frac{324}{27}=12\text{ (cm)}\end{array}$$
2. Obliczamy wysokości obu wież. Wieża I to sześcian z ostrosłupem na górze, wieża II to dwa sześciany ustawione jeden na drugim.
   $$\begin{array}{rl}& \text{wiez˙a I: }12+10=22\text{ (cm)}\\ & \text{wiez˙a II: }10+10=20\text{ (cm)}\end{array}$$
3. Obliczamy różnicę wysokości obu wież.
   $$22-20=2\text{ (cm)}$$

1. Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Z siatki odczytujemy, że trzy krawędzie podstawy razem mają długość $18$ cm, więc obliczamy długość jednej krawędzi podstawy $a$.
   $$a=18:3=6\text{ cm}$$
2. Wysokość graniastosłupa jest $1,5$ razy większa od długości krawędzi podstawy.
   $$H=1,5\cdot 6=9\text{ cm}$$
3. Pole powierzchni bocznej to suma pól czterech przystających prostokątów o wymiarach $a\times H$.
   $$P_b=4\cdot a\cdot H=4\cdot 6\cdot 9=216{\text{ cm}}^2$$

1. Ostrosłup prawidłowy o podstawie będącej $n$-kątem ma $n$ ścian bocznych oraz $1$ ścianę podstawy, czyli łącznie $n+1$ ścian. Z treści zadania:
   $$\begin{array}{rl}& n+1=12\\ & n=11\end{array}$$
2. Liczba wierzchołków ostrosłupa to $n$ wierzchołków podstawy plus $1$ wierzchołek ostrosłupa:
   $$n+1=11+1=12$$

1. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy mierzymy między wysokością ostrosłupa $H$ a apotemą podstawy $a_p$ (odległością środka kwadratu od środka krawędzi podstawy). Dla kwadratu o boku $4$ apotema wynosi połowę boku:
   $$a_p=\frac{4}{2}=2$$
2. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość $H$, apotemę $a_p$ i wysokość ściany bocznej zachodzi $\text{tg}\alpha =\frac{H}{a_p}$, stąd:

1. Liczba ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego jest równa liczbie boków wielokąta w podstawie, więc podstawą jest $2024$-kąt.
2. Ostrosłup ma tyle samo krawędzi podstawy, co krawędzi bocznych, czyli łącznie $2n$ krawędzi, gdzie $n=2024$:
   $$2n=2\cdot 2024=4048$$

1. Trzy kolejne parzyste liczby naturalne, których największa jest równa $p$, to długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka:
   $$p-4,p-2,p$$
2. Objętość prostopadłościanu jest iloczynem długości tych trzech krawędzi:
   $$V=p(p-2)(p-4)$$
3. Mnożymy nawiasy $(p-2)(p-4)$, a następnie wynik przez $p$:
   $$\begin{array}{rl}& (p-2)(p-4)=p^2-6p+8\\ & V=p\left(p^2-6p+8\right)=p^3-6p^2+8p\end{array}$$

1. Trzy kolejne liczby naturalne parzyste, z których największa jest równa $10$, to $6$, $8$ i $10$ — to długości krawędzi $a$, $b$, $c$ wychodzących z jednego wierzchołka.
2. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu liczymy ze wzoru $P=2(ab+bc+ac)$:
   $$\begin{array}{rl}& P=2(6\cdot 8+8\cdot 10+6\cdot 10)\\ & P=2(48+80+60)\\ & P=2\cdot 188=376\end{array}$$

1. Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku $a$. Jego pole wyraża się wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Korzystamy z danego pola podstawy, aby wyznaczyć $a$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=15\sqrt{3}\\ & a^2=10\\ & a=\sqrt{10}\end{array}$$
2. Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego jest prostokątem o bokach $a$ oraz $h$ (wysokość bryły). Obliczamy jej pole:
   $$P=a\cdot h=\sqrt{10}\cdot 6=6\sqrt{10}$$