Zbiór zadań

Znaleziono 51 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Zapisujemy wzór funkcji $P$ w postaci ogólnej, wymnażając nawiasy:
   $$P(x)=(70-x)(20+x)=1400+70x-20x-x^2=-x^2+50x+1400$$
2. To funkcja kwadratowa o współczynniku $a=-1<0$, więc przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli, dla:
   $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-50}{2\cdot (-1)}=25$$
3. Liczba $25$ spełnia warunki $x\ge 0$ i $x\le 60$, więc przychód jest największy dla $x=25$.

1. Zapisujemy wzór funkcji $P$ w postaci ogólnej, wymnażając nawiasy, i wstawiamy warunek $P(x)=800$:
   $$-x^2+50x+1400=800$$
2. Przenosimy wszystko na jedną stronę i porządkujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& -x^2+50x+600=0\\ & x^2-50x-600=0\end{array}$$
3. Obliczamy wyróżnik i pierwiastki:
   $$\begin{array}{rl}& \Delta =(-50{)}^2-4\cdot 1\cdot (-600)=2500+2400=4900,\sqrt{\Delta }=70\\ & x_1=\frac{50-70}{2}=-10,x_2=\frac{50+70}{2}=60\end{array}$$
4. Liczba $x$ musi spełniać warunek $x\ge 0$, więc odrzucamy $x_1=-10$. Pozostaje $x=60$, które spełnia też warunek $x\le 60$.

1. Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędne $(4,-2)$, a ramiona paraboli są skierowane w górę (parabola ma najmniejszą wartość w wierzchołku).
2. Najmniejszą wartością funkcji jest więc $-2$, a funkcja rośnie nieograniczenie po obu stronach wierzchołka, więc zbiorem wartości jest przedział:
   $$[-2,+\infty )$$

1. Z rysunku odczytujemy, że parabola przecina oś $Ox$ w punktach $x=2$ oraz $x=6$, a ramiona paraboli są skierowane w górę.
2. Wartości funkcji są ujemne dokładnie między miejscami zerowymi, czyli dla:
   $$x\in (2,6)$$

1. Z rysunku odczytujemy miejsca zerowe funkcji: $x=2$ oraz $x=6$, oraz wierzchołek paraboli w punkcie $(4,-2)$.
2. Postać iloczynowa z miejscami zerowymi $2$ i $6$, sprawdzona przez punkt przecięcia z osią $Oy$ odczytany z wykresu ($f(0)=6$), to:
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6),\text{bo }\frac{1}{2}(0-2)(0-6)=\frac{1}{2}\cdot 12=6$$
3. Postać kanoniczna z tym samym współczynnikiem $a=\frac{1}{2}$ i wierzchołkiem $(4,-2)$ to:
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x-4{)}^2-2$$
4. Poprawne odpowiedzi to A oraz B.

1. Przekształcenie $g(x)=f(x+1)$ przesuwa wykres funkcji $f$ o $1$ w lewo wzdłuż osi $Ox$.
2. Wierzchołek paraboli $f$ znajduje się w punkcie $(4,-2)$, więc wierzchołek paraboli $g$ znajduje się w punkcie:
   $$(4-1,-2)=(3,-2)$$
3. Miejsca zerowe funkcji $f$ to $x=2$ i $x=6$, więc miejsca zerowe funkcji $g$ to:
   $$x=2-1=1\text{oraz}x=6-1=5$$
4. Wykres z wierzchołkiem w punkcie $(3,-2)$ i miejscami zerowymi $x=1$ oraz $x=5$ przedstawiono na rysunku B.

1. Funkcja kwadratowa $f(x)=(x-13{)}^2-256$ jest zapisana w postaci kanonicznej, więc oś symetrii jej paraboli to prosta $x=13$. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej są symetryczne względem osi symetrii.
2. Obliczamy odległość znanego miejsca zerowego $x=-3$ od osi symetrii:
   $$13-(-3)=16$$
3. Drugie miejsce zerowe leży w takiej samej odległości od osi symetrii, ale po jej drugiej stronie:
   $$13+16=29$$

1. Wartość funkcji dla $x=0$ jest równa $f(0)=1$ niezależnie od współczynników $a$ i $b$ — na każdym z czterech rysunków krzywa przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,1)$.
2. Współczynnik $a<0$ oznacza, że parabola ma ramiona skierowane w dół — odrzucamy rysunki A i C, na których ramiona są skierowane w górę.
3. Oś symetrii paraboli wyznacza wzór $x=-\frac{b}{2a}$. Ponieważ $a<0$ i $b>0$, licznik $-b$ jest ujemny, a mianownik $2a$ też jest ujemny, więc:
4. Wierzchołek paraboli leży więc po prawej stronie osi $Oy$. Spośród wykresów z ramionami skierowanymi w dół (B i D) pasuje ten, na którym wierzchołek znajduje się na prawo od osi $Oy$ — czyli rysunek D.

1. Wykres funkcji kwadratowej (parabola) jest symetryczny względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek, czyli względem prostej $x=3$. Oba miejsca zerowe leżą więc w takiej samej odległości od tej prostej. Obliczamy odległość znanego miejsca zerowego od osi symetrii:
   $$3-(-5)=8$$
2. Drugie miejsce zerowe leży w tej samej odległości po drugiej stronie osi symetrii:
   $$x_2=3+8=11$$

1. Zbiór wartości $(-\infty ,2]$ jest ograniczony z góry, więc szukamy funkcji, których wykres to parabola skierowana ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ ujemny). Funkcje $B$, $D$ i $E$ mają współczynnik dodatni (parabola ramionami w górę), więc ich zbiór wartości jest ograniczony z dołu, a nie z góry, więc od razu je odrzucamy.
2. Funkcja $A(x)=-(x-3{)}^2+2$ jest już zapisana w postaci kanonicznej: jej wierzchołek to $(3,2)$, więc wartość maksymalna wynosi $2$, a zbiór wartości to:
   $$(-\infty ,2]$$
3. Funkcja $C(x)=-5(x-2{)}^2$ ma wierzchołek $(2,0)$, więc wartość maksymalna wynosi $0$, a zbiór wartości to $(-\infty ,0]$, a to nie jest szukany przedział.
4. Funkcję $F(x)=-2x^2+4x$ sprowadzamy do postaci kanonicznej:
   $$F(x)=-2x^2+4x=-2(x^2-2x)=-2(x-1{)}^2+2$$
5. Wierzchołek to $(1,2)$, więc wartość maksymalna wynosi $2$, a zbiór wartości to $(-\infty ,2]$, co pasuje. Zatem szukanymi funkcjami są $A$ oraz $F$.

1. Łączna liczba klientów obsłużonych w ciągu wszystkich $30$ dni to suma wartości funkcji dla każdego dnia z osobna: $L(1)+L(2)+\dots +L(30)$, a nie sama wartość $L(30)$, czyli liczba klientów tylko w ostatnim, trzydziestym dniu. Te dwie wielkości są różne, więc stwierdzenie jest fałszywe (F).
2. Sprawdzamy drugie stwierdzenie, obliczając wartość funkcji dla $n=3$:
   $$L(3)=-3^2+22\cdot 3+279=-9+66+279=336$$
3. Otrzymana wartość zgadza się z podaną w zdaniu, więc stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(5,-3)$, a ramiona paraboli są skierowane w górę (parabola ma najmniejszą wartość w wierzchołku), więc najmniejszą wartością funkcji $f$ jest $-3$, a funkcja przyjmuje wszystkie wartości od $-3$ wzwyż:
   $$[-3,+\infty )$$

1. Funkcja nie ma miejsc zerowych, więc wyróżnik trójmianu jest ujemny:
   $$b^2-4ac<0$$
2. Wartość $f(0)=c$, a z treści wiemy, że $c<0$ — wykres funkcji w punkcie $x=0$ leży pod osią $Ox$. Skoro wykres nie przecina osi $Ox$ w żadnym punkcie (brak miejsc zerowych), cały wykres leży pod tą osią, więc parabola musi być skierowana ramionami w dół:
   $$a<0$$
3. Zatem prawidłowa jest odpowiedź B (wykres leży pod osią $Ox$) z uzasadnieniem 1. ($a<0$ i $b^2-4ac<0$).

1. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=1$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę i osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku. Odcięta wierzchołka wyraża się wzorem $x_w=-\frac{b}{2a}$, a z treści wiemy, że $x_w=2$:
   $$-\frac{b}{2}=2⟹b=-4$$
2. Wartość najmniejsza to $f(2)=4$. Podstawiamy $b=-4$ i wyznaczamy $c$:
   $$\begin{array}{rl}& 2^2+(-4)\cdot 2+c=4\\ & 4-8+c=4\\ & c=8\end{array}$$