Zbiór zadań

Znaleziono 101 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy trzy początkowe wyrazy ciągu:
   $$a_1=3\cdot 1^2-3\cdot 1=0,a_2=3\cdot 2^2-3\cdot 2=6,a_3=3\cdot 3^2-3\cdot 3=18$$
2. Sumujemy je:
   $$S_3=a_1+a_2+a_3=0+6+18=24$$

1. Obliczamy pierwsze trzy wyrazy ciągu:
   $$a_1=2,a_2=5,a_3=11$$
2. Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów:
   $$a_2-a_1=3,a_3-a_2=6$$
3. Różnice nie są równe, więc ciąg NIE jest arytmetyczny (F).
4. Sprawdzamy ilorazy kolejnych wyrazów:
   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{2},\frac{a_3}{a_2}=\frac{11}{5}$$
5. Ilorazy nie są równe, więc ciąg NIE jest geometryczny (F).

1. Obliczamy różnice kolejnych wyrazów: $a_1=0$, $a_2=6$, $a_3=18$, więc $a_2-a_1=6$, a $a_3-a_2=12$. Różnice nie są sobie równe, zatem ciąg $(a_n)$ NIE jest arytmetyczny — stwierdzenie pierwsze jest fałszywe (F).
2. Zapisujemy wzór ciągu w postaci iloczynowej:
   $$a_n=3n^2-3n=3n(n-1)$$
3. Liczby $n$ i $n-1$ to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich zawsze jest parzysta, a ich iloczyn $n(n-1)$ jest parzysty. Zatem $3n(n-1)$ też jest parzyste — wszystkie wyrazy ciągu są parzyste, stwierdzenie drugie jest prawdziwe (P).

1. Podstawiamy $n=6$:
   $$a_6=\frac{32\cdot (-1{)}^6}{2^{6-1}}=\frac{32\cdot 1}{2^5}=\frac{32}{32}=1$$

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$ dla $n=25$:
   $$\begin{array}{rl}& a_{25}=a_1+24r\\ & 2=52+24r\\ & 24r=-50\\ & r=-\frac{50}{24}=-\frac{25}{12}\end{array}$$

1. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
   $$S_{25}=\frac{a_1+a_{25}}{2}\cdot 25=\frac{52+2}{2}\cdot 25=27\cdot 25=675$$

1. Korzystamy z zależności $a_{10}=a_6+4d$, gdzie $d=-4$:
   $$\begin{array}{rl}& -24=a_6+4\cdot (-4)\\ & -24=a_6-16\\ & a_6=-8\end{array}$$

1. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
   $$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$
2. Czwarty wyraz obliczamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego:
   $$a_4=a_1\cdot q^3=27\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3=27\cdot \frac{1}{27}=1$$

1. W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$\begin{array}{rl}& m^2=4(m-1)\\ & m^2-4m+4=0\\ & (m-2{)}^2=0\\ & m=2\end{array}$$
2. Sprawdzamy: dla $m=2$ ciąg to $(4,2,1)$ o ilorazie $q=\frac{1}{2}\ne 0$ — to poprawny ciąg geometryczny.

1. Wyraz $a_6$ zapisujemy przez $a_3$ i iloraz $q$:
   $$a_6=a_3\cdot q^3$$
2. Podstawiamy do warunku $a_3=-8\cdot a_6$ i dzielimy obie strony przez $a_3\ne 0$:

1. Ciąg $(\sqrt{5},1,x)$ jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz to średnia arytmetyczna skrajnych:
   $$\begin{array}{rl}& 2\cdot 1=\sqrt{5}+x\\ & x=2-\sqrt{5}\end{array}$$
2. Ponieważ $\sqrt{5}\approx 2,24>2$, to $x<0$.
3. Ciąg $(\sqrt{5},1,y)$ jest geometryczny, więc iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{y}{1}\\ & y=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}$$
4. Ponieważ $\sqrt{5}>0$, to $y>0$. Zatem $x<0$ i $y>0$.