Zbiór zadań

Znaleziono 43 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Niech liczba kulek zielonych będzie równa $x$. Kulek czerwonych jest trzy razy więcej niż zielonych, czyli jest ich $3x$.
2. Kulek czerwonych jest o dwa mniej niż niebieskich, więc niebieskich jest o dwa więcej niż czerwonych.
   $$3x+2$$
3. Porównujemy liczby kulek: zielonych jest $x$, czerwonych $3x$, a niebieskich $3x+2$. Dla dodatniego $x$ najmniejsza z tych trzech liczb to $x$ – najmniej jest więc kulek zielonych (odpowiedź B).
4. Liczbę wszystkich kulek obliczamy jako sumę kulek zielonych, czerwonych i niebieskich.
   $$x+3x+(3x+2)=7x+2$$
5. Liczbę wszystkich kulek w pudełku opisuje więc wyrażenie $7x+2$ (odpowiedź D).

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ dla $x=2a+b$ i $y=2a-b$:
   $$(2a+b{)}^2-(2a-b{)}^2=\left[(2a+b)-(2a-b)\right]\cdot \left[(2a+b)+(2a-b)\right]$$
2. Upraszczamy oba nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (2a+b)-(2a-b)=2b\\ & (2a+b)+(2a-b)=4a\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2b\cdot 4a=8ab$$

1. Dzielenie ułamków zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
   $$\frac{x}{x^2-1}:\frac{3x^2}{x+1}=\frac{x}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
2. Rozkładamy mianownik $x^2-1$ na czynniki (wzór skróconego mnożenia):
   $$\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
3. Skracamy czynnik $(x+1)$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{x\cdot \bcancel{(x+1)}}{(x-1)\cdot \bcancel{(x+1)}\cdot 3x^2}=\frac{x}{3x^2(x-1)}$$
4. Zapisujemy $3x^2$ jako $3x\cdot x$ i skracamy $x$ w liczniku z jednym $x$ w mianowniku:
   $$\frac{\bcancel{x}}{3x\cdot \bcancel{x}\cdot (x-1)}=\frac{1}{3x(x-1)}$$
5. Mnożymy w mianowniku:
   $$\frac{1}{3x(x-1)}=\frac{1}{3x^2-3x}$$

1. Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie – mnożymy wielomiany $F$ i $G$:
   $$F(x)\cdot G(x)=3x\left(x^2+2x+3\right)=3x^3+6x^2+9x=W(x)$$
2. Iloczyn $F(x)\cdot G(x)$ jest równy $W(x)$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Sprawdzamy drugie stwierdzenie – obliczamy wartość wielomianu $W$ dla $x=-1$:
   $$W(-1)=3\cdot (-1{)}^3+6\cdot (-1{)}^2+9\cdot (-1)=-3+6-9=-6$$
4. Ponieważ $W(-1)=-6\ne 0$, liczba $(-1)$ nie jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$ – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Mnożymy ułamki, zapisując wynik jako jeden ułamek:
   $$\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{x}=\frac{2x^2(x+1)}{(x^2-1)x}$$
2. Rozkładamy mianownik $x^2-1=(x-1)(x+1)$ i skracamy czynniki $(x+1)$ oraz $x$ (możemy to zrobić, bo $x\ne -1$ i $x\ne 0$):

1. Suma współczynników wielomianu $a+b+c+d$ to wartość tego wielomianu dla $x=1$, czyli $W(1)$. Ponieważ $W(x)=F(x)\cdot G(x)$, to $W(1)=F(1)\cdot G(1)$.
2. Obliczamy wartości $F(1)$ i $G(1)$:
   $$F(1)=(2-3\cdot 1{)}^2=(-1{)}^2=1,G(1)=3\cdot 1-2=1$$
3. Mnożymy otrzymane wartości:
   $$W(1)=F(1)\cdot G(1)=1\cdot 1=1$$

1. Mnożymy każdy z nawiasów przez stojący przed nim czynnik.
   $$\begin{array}{rl}& x(x+4)=x^2+4x\\ & -3(2x-5)=-6x+15\end{array}$$
2. Dodajemy otrzymane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne.
   $$x^2+4x-6x+15=x^2-2x+15$$

1. Sprawdzamy wyrażenie $J=2x^2-2$ dla obu podanych wartości $x$.
   $$\begin{array}{rl}& J(1)=2\cdot 1^2-2=2-2=0\\ & J(-1)=2\cdot (-1{)}^2-2=2-2=0\end{array}$$
2. Wyrażenie $J$ przyjmuje wartość $0$ zarówno dla $x=1$, jak i dla $x=-1$ (odpowiedź C).

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, gdzie $x=2a-3$, $y=2a+3$:
   $$(2a-3{)}^2-(2a+3{)}^2=\left[(2a-3)-(2a+3)\right]\cdot \left[(2a-3)+(2a+3)\right]$$
2. Upraszczamy oba nawiasy:
   $$(2a-3)-(2a+3)=-6,(2a-3)+(2a+3)=4a$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$-6\cdot 4a=-24a$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ dla $a=1+\sqrt{5}$ i $b=1-\sqrt{5}$:
   $$\begin{array}{rl}& {\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2=\\ & =\left[(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\right]\cdot \left[(1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})\right]\end{array}$$
2. Upraszczamy każdy z nawiasów:
   $$\begin{array}{rl}& (1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})=2\sqrt{5}\\ & (1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})=2\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2\sqrt{5}\cdot 2=4\sqrt{5}$$

1. Marcin odlał $\frac{1}{3}\cdot k$ litrów wody, a Magda odlała kolejne $3$ litry. Łączna odlana objętość wody jest równa:
   $$\frac{1}{3}\cdot k+3$$
2. Objętość wody, która pozostała w naczyniu, to początkowa objętość $k$ pomniejszona o łączną odlaną objętość:
   $$k-\left(\frac{1}{3}\cdot k+3\right)$$
3. Odpowiedź A.

1. Licznik pierwszego ułamka rozkładamy na czynniki, wyciągając $x$ przed nawias:
   $$x^2+x=x(x+1)$$
2. Zapisujemy iloczyn ułamków i skracamy wspólny czynnik $x$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{x(x+1)}{(x-2{)}^2}\cdot \frac{x-2}{x}=\frac{\bcancel{x}(x+1)}{(x-2{)}^2}\cdot \frac{x-2}{\bcancel{x}}=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2{)}^2}$$
3. Zapisujemy $(x-2{)}^2$ jako $(x-2)\cdot (x-2)$ i skracamy jeden czynnik $(x-2)$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2)(x-2)}=\frac{(x+1)\bcancel{(x-2)}}{\bcancel{(x-2)}(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}$$

1. Sprowadzamy oba składniki do wspólnego mianownika $2x$:
   $$\frac{1}{2x}-x=\frac{1}{2x}-\frac{2x\cdot x}{2x}=\frac{1-2x^2}{2x}$$

1. Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka oraz licznik drugiego na czynniki:
   $$x^2+4x+4=(x+2{)}^2,x^2+2x=x(x+2)$$
2. Zapisujemy $2x+6=2(x+3)$ i podstawiamy rozkłady do wyrażenia:
   $$\frac{x+3}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x(x+2)}{2(x+3)}$$
3. Skracamy wspólny czynnik $(x+3)$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{\bcancel{(x+3)}\cdot x(x+2)}{(x+2{)}^2\cdot 2\cdot \bcancel{(x+3)}}=\frac{x(x+2)}{2(x+2{)}^2}$$
4. Skracamy jeden czynnik $(x+2)$ w liczniku z jednym z dwóch czynników $(x+2)$ w mianowniku:
   $$\frac{x\cdot \bcancel{(x+2)}}{2\cdot \bcancel{(x+2)}\cdot (x+2)}=\frac{x}{2(x+2)}=\frac{x}{2x+4}$$