Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności, jest
Poprawna odpowiedź
C. 7
Niech cyfra jedności będzie równa j, a cyfra dziesiątek d=j+3. Cyfra dziesiątek musi być mniejsza lub równa 9, więc j+3≤9, czyli j≤6.
Cyfra jedności j może więc przyjąć wartości 0,1,2,3,4,5,6 — to 7 możliwości, a każdej odpowiada dokładnie jedna liczba dwucyfrowa (30,41,52,63,74,85,96).
Wśród n osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).
E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.
Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy (−3). Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
840
Trzy pierwsze cyfry numeru CAN muszą tworzyć trzywyrazowy ciąg arytmetyczny o różnicy −3, złożony z różnych cyfr ze zbioru {0,1,…,9}. Wypisujemy wszystkie takie ciągi:
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1,2,3,7,8,9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest
Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
12960
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Liczba jest parzysta, więc jej ostatnia cyfra musi być parzysta. Spośród cyfr 2, 4, 7 parzyste są tylko 2 i 4 — na ostatnią cyfrę mamy więc 2 możliwości.
Na każdą z pozostałych trzech cyfr (tysięcy, setek, dziesiątek) możemy wstawić dowolną z trzech cyfr 2, 4, 7 — po 3 możliwości na każdą pozycję.
Ze reguły mnożenia obliczamy liczbę wszystkich takich liczb:
3⋅3⋅3⋅2=54
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Trzy pierwsze cyfry numeru CAN możemy więc wybrać na 4 sposoby.
Pozostałe trzy cyfry (czwarta, piąta i szósta) muszą być różne od siebie i różne od trzech już użytych cyfr — zostało 10−3=7 cyfr do wyboru. Czwartą cyfrę wybieramy więc na 7 sposobów, piątą na 6 sposobów, a szóstą na 5 sposobów:
7⋅6⋅5=210
Łączną liczbę numerów CAN spełniających warunki zadania obliczamy jako iloczyn liczby możliwości wyboru trzech pierwszych cyfr i liczby możliwości wyboru pozostałych trzech cyfr:
4⋅210=840
B.2⋅43
C.2⋅34
D.35
C. 2⋅34
Liczba jest pięciocyfrowa, więc pierwsza cyfra nie może być 0 — może być 5 albo 7, czyli mamy 2 możliwości na pierwszym miejscu.
Na każdym z pozostałych czterech miejsc może stać dowolna z trzech cyfr: 0, 5 lub 7, czyli 3 możliwości na każdym z 4 miejsc.
Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb pięciocyfrowych jest równa:
2⋅34
C.10⋅9⋅8⋅7
D.9⋅9⋅8⋅7
D. 9⋅9⋅8⋅7
Na pierwszym miejscu liczby czterocyfrowej nie może stać 0, więc mamy do wyboru 9 cyfr (od 1 do 9).
Na drugim miejscu może stanąć dowolna cyfra różna od już użytej (w tym 0), więc zostaje 9 możliwości.
Na trzecim miejscu zostają 8 niewykorzystanych jeszcze cyfr, a na czwartym miejscu 7 cyfr.
Liczbę wszystkich takich liczb obliczamy, mnożąc liczby możliwości na kolejnych pozycjach:
9⋅9⋅8⋅7
D. 6
Liczba trzycyfrowa ma postać abc, gdzie pierwsza cyfra a∈{1,2,…,9} (nie może być zerem), a b,c∈{0,1,…,9}, oraz a+b+c=3. Wypisujemy wszystkie liczby spełniające ten warunek:
102,111,120,201,210,300
Takich liczb jest łącznie 6 — odpowiedź D.
C.10⋅9⋅8⋅7
D.9⋅10⋅10⋅10
B. 9⋅9⋅8⋅7
Liczba czterocyfrowa nie może zaczynać się od cyfry 0, więc na pierwszym miejscu może stać jedna z 9 cyfr (1–9).
Na drugim miejscu może stać dowolna z pozostałych 9 cyfr (w tym 0, bez cyfry użytej na pierwszym miejscu), na trzecim 8 pozostałych cyfr, a na czwartym 7 pozostałych cyfr:
9⋅9⋅8⋅7
C.9⋅10⋅10⋅2
D.9⋅9⋅8⋅1
B. 9⋅10⋅10⋅1
Liczba czterocyfrowa nieparzysta i podzielna przez 5 musi kończyć się cyfrą, która jest jednocześnie nieparzysta i sprawia, że liczba dzieli się przez 5: jedyna taka cyfra to 5. Na miejscu jedności mamy więc 1 możliwość.
Na miejscu tysięcy nie może stać 0 (liczba ma być czterocyfrowa), więc mamy 9 możliwości (1–9).
Na miejscu setek i na miejscu dziesiątek może stać dowolna cyfra od 0 do 9, czyli po 10 możliwości na każdym z tych miejsc.
Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb jest równa:
9⋅10⋅10⋅1
C.6⋅5⋅5
D.3⋅5⋅5
D. 3⋅5⋅5
Liczba ma być trzycyfrowa, większa od 300 i mieć wszystkie cyfry parzyste. Cyfra setek musi więc jednocześnie być parzysta i dawać liczbę większą od 300, czyli należeć do zbioru {4,6,8} — to 3 możliwości.
Cyfra dziesiątek może być dowolną cyfrą parzystą: {0,2,4,6,8} — 5 możliwości. Tyle samo możliwości ma cyfra jedności.
Liczba wszystkich takich liczb to iloczyn liczby możliwości dla każdej cyfry:
3⋅5⋅5
C.5⋅104
D.4⋅105
B. 9⋅5⋅103
Liczba pięciocyfrowa ma postać abcde. Pierwsza cyfra a nie może być zerem, więc wybieramy ją na 9 sposobów.
Środkowe cyfry b,c,d mogą być dowolne (od 0 do 9), każdą wybieramy na 10 sposobów, razem 103.
Aby liczba była parzysta, ostatnia cyfra e musi być parzysta: 0,2,4,6,8 — to 5 możliwości.
Mnożymy liczby możliwości dla poszczególnych cyfr.
9⋅103⋅5=9⋅5⋅103
C.40
D.299
B. 60
Liczba ma być większa od 700, więc cyfra setek musi należeć do zbioru {7,8,9} — każda taka liczba jest wtedy automatycznie większa od 700. Na cyfrę setek mamy więc 3 możliwości.
Na cyfrę dziesiątek zostaje 5 z pozostałych cyfr (bez powtórzeń), a na cyfrę jedności 4 cyfry. Z reguły mnożenia: