Zbiór zadań

Znaleziono 51 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Wiemy, że $f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$. Rozwijamy nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (x+4)(x-6)=x^2-2x-24\\ & f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-x-12\end{array}$$
2. Odczytujemy współczynniki: $b=-1$, $c=-12$. Oba są liczbami ujemnymi, więc oba stwierdzenia są fałszywe.

1. Podstawienie $x-3$ w miejsce $x$ przesuwa wykres funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo, więc oś symetrii też przesuwa się o $3$ w prawo:
   $$x=1+3=4$$

1. Zapisujemy wzór funkcji $\mathcal{Z}$ w postaci ogólnej, mnożąc nawiasy:
   $$\mathcal{Z}(x)=(500+50x)(16-x)=8000-500x+800x-50x^2=-50x^2+300x+8000$$
2. To funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy $x^2$, więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół — największą wartość przyjmuje w wierzchołku, dla $x=-\frac{b}{2a}$:
   $$x=-\frac{300}{2\cdot (-50)}=\frac{300}{100}=3$$
3. Liczba $x=3$ spełnia warunki $x\ge 1$ i $x\le 14$, więc roczny zysk jest największy dla $x=3$.

1. Ramiona paraboli są skierowane do góry, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku, a nie ma wartości największej.
2. Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołka: $(1,-2)$, więc najmniejsza wartość funkcji to $-2$.
3. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział:
   $$[-2,+\infty )$$

1. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(3,0)$. Ponieważ parabola przechodzi przez punkt $(0,-9)$, który leży poniżej wierzchołka, ramiona paraboli są skierowane w dół.
2. Funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, jest rosnąca do wierzchołka i malejąca od wierzchołka. Zatem funkcja $f$ jest malejąca w przedziale:
   $$[3,+\infty )$$

1. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem $(3,0)$ ma postać:
   $$f(x)=a(x-3{)}^2$$
2. Wyznaczamy współczynnik $a$, korzystając z faktu, że parabola przechodzi przez punkt $(0,-9)$:
   $$\begin{array}{rl}& a(0-3{)}^2=-9\\ & 9a=-9\\ & a=-1\end{array}$$
3. Wzór funkcji w postaci kanonicznej to:
   $$f(x)=-(x-3{)}^2$$
4. Rozwijamy nawias, aby otrzymać postać ogólną:
   $$f(x)=-(x^2-6x+9)=-x^2+6x-9$$
5. Porównując z podanymi odpowiedziami, wzór funkcji $f$ zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami B i D.

1. Osią symetrii paraboli jest prosta pionowa przechodząca przez jej wierzchołek.
2. Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędną $x=1$, więc osią symetrii jest prosta:
   $$x=1$$

1. Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(1,-2)$, więc wzór funkcji w postaci kanonicznej to $f(x)=a(x-1{)}^2-2$ dla pewnego $a$.
2. Z rysunku odczytujemy, że parabola przechodzi przez punkt $(3,0)$ (miejsce zerowe). Podstawiamy współrzędne tego punktu, aby wyznaczyć $a$:
   $$\begin{array}{rl}& 0=a(3-1{)}^2-2\\ & 0=4a-2\\ & a=\frac{1}{2}\end{array}$$
3. Wzór funkcji $f$ to:
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x-1{)}^2-2$$

1. Funkcja $g$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $f(x)=-(x-3{)}^2$ o $1$ w dół:
   $$g(x)=-(x-3{)}^2-1$$
2. Wierzchołkiem paraboli $g$ jest punkt $(3,-1)$, a ramiona są skierowane w dół, więc największą wartością funkcji $g$ jest $-1$. Ponieważ $-1<0$, funkcja $g$ nigdy nie przyjmuje wartości $0$ — nie ma miejsc zerowych. Zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Przesunięcie wykresu w pionie nie zmienia osi symetrii — oś symetrii wykresu funkcji $g$ to nadal prosta $x=3$. Zatem drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Parabola ma z osiami układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne: jeden na osi $Oy$ (punkt $M$) i jeden na osi $Ox$ (punkt $N$). Gdyby parabola przecinała oś $Ox$ w dwóch różnych punktach, punktów wspólnych z osiami byłoby razem trzy. Zatem $N=(3,0)$ jest jedynym punktem wspólnym paraboli z osią $Ox$, czyli wierzchołkiem tej paraboli.
2. Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej z wierzchołkiem w punkcie $N=(3,0)$:
   $$f(x)=a(x-3{)}^2,a\ne 0$$
3. Punkt $M=(0,18)$ leży na wykresie funkcji $f$, więc $f(0)=18$:
   $$\begin{array}{rl}& a(0-3{)}^2=18\\ & 9a=18\\ & a=2\end{array}$$
4. Zatem wzór funkcji kwadratowej to:
   $$f(x)=2(x-3{)}^2=2x^2-12x+18$$

1. Z wykresu odczytujemy, że ramiona paraboli są skierowane w dół, a miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia z osią $Ox$) to $x=-2$ oraz $x=4$.
2. Funkcja przyjmuje wartości nieujemne pomiędzy miejscami zerowymi (łącznie z nimi), zatem zbiorem rozwiązań nierówności $f(x)\ge 0$ jest przedział:
   $$x\in [-2,4]$$

1. Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: $(1,9)$.
2. Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej to $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, gdzie $(p,q)$ są współrzędnymi wierzchołka. Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik $a$ jest ujemny. Postać kanoniczna funkcji to:
   $$f(x)=-(x-1{)}^2+9$$

1. Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez jej wierzchołek, czyli prostej $x=1$.
2. Punkt $x=-4$ leży w odległości $5$ od osi symetrii ($1-(-4)=5$), więc jego lustrzane odbicie względem tej osi to $x=1+5=6$. Zatem:
   $$f(-4)=f(6)$$

1. Wzór $f(x)=-(x+1{)}^2+4$ ma postać kanoniczną $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne
   $$(p,q)=(-1,4)$$
2. Współczynnik przy $(x+1{)}^2$ jest równy $a=-1<0$, więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
3. Wykres funkcji kwadratowej z wierzchołkiem w punkcie $(-1,4)$ i ramionami skierowanymi w dół przedstawiono na rysunku B.