Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki

1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(\frac{3 + 1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3 - 1}{2}, 2 - 3, \dots)

.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

A.

\frac{5 + 3 3}{4}

1
Wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego, dzieląc drugi wyraz przez pierwszy.
$q = \frac{1}{2} : \frac{3 + 1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3 + 1} = \frac{2}{3 + 1}$

Zadanie 2 Ciągi

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Iloraz tego ciągu jest równy

\frac{2}{3}

, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{9}{4}

.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 5 Ciągi

2 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem rekurencyjnym

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = 2 a_{n + 1} = \frac{4}{a _{n}}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Ciągi

4 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od

6

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

1

, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy

(- 2025)

. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Ciągi

4 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

14

. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

392

.

Wyznacz wzór ogólny na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Ciągi

4 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o

4

, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o

1

, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz

x, y

oraz

z

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Ciągi

4 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu

a_{1} + a_{3} = 20

i

a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 328

.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Ciągi

5 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu

a_{6} = 15

oraz

a_{15} = a_{3} \cdot (a_{8} - 6)

.

Ciąg

(b_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest geometryczny i

b_{1} = a_{11}

oraz

b_{2} = a_{6}

.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu

(b_{n})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

4 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu

a_{1} + a_{3} = 20

i

a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 328

.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Ciągi

4 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

o numerach nieparzystych jest równa

16

, tj.

a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots = 16

Ponadto

a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2} \cdot a_{2}

.

Wyznacz wzór ogólny na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Ciągi

4 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa

105

. Liczby

x

,

y

oraz

z

są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oblicz

x, y

oraz

z

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

5 pkt

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, spełniają warunek

a_{3} + a_{5} = 10

.

Trzywyrazowy ciąg

(2 a_{1} + 4, a_{4} - 1, - \frac{1}{8} a_{7})

jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Ciągi

2 pkt

W chwili początkowej (

t = 0

) masa substancji jest równa

4

gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa

19%

masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej

t \geq 0

funkcja

m (t)

określa masę substancji w gramach po

t

pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji

m (t)

. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od

1, 5

grama. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Ciągi

4 pkt

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2 x - \frac{6 x}{x - 1} + \frac{18 x}{( x - 1 ) ^{2}} - \frac{54 x}{( x - 1 ) ^{3}} + \dots

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej

x

(różnej od

0

i od

1

), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa

\frac{15}{2}

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

4 pkt

Określamy kwadraty

K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots

następująco:
•

K_{1}

jest kwadratem o boku długości

a

•

K_{2}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

•

K_{3}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{2}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej

n \geq 2

,
•

K_{n}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{n - 1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki