Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Miejsca zerowe funkcji $g$ to argumenty, dla których $g(x)=0$, czyli $f(x)=3$:
   $$g(x)=0⟺f(x)=3$$
2. Z treści zadania wiemy, że $f(0)=3$ (parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,3)$), więc $x=0$ jest jednym z miejsc zerowych funkcji $g$. Drugie miejsce zerowe jest symetryczne do $x=0$ względem osi symetrii $x=3$:
3. Zatem $x_1=0$, $x_2=6$, a ich suma:
   $$x_1+x_2=0+6=6$$

1. Funkcja liniowa ma postać $g(x)=ax+b$. Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:
   $$b=-\frac{3}{2}$$
2. Miejsce zerowe to $x=-3$, czyli $g(-3)=0$. Podstawiamy i wyznaczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& -3a-\frac{3}{2}=0\\ & -3a=\frac{3}{2}\\ & a=-\frac{1}{2}\end{array}$$
3. Zatem wzór funkcji to:
   $$g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$$

1. Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją stałą, czyli gdy jej współczynnik kierunkowy jest równy zero:
   $$3-m=0⟹m=3$$

1. Ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyznaczamy pierwszy wyraz $a_1$, korzystając z danych $a_{10}=-24$ oraz $d=-4$.
   $$\begin{array}{rl}& a_{10}=a_1+9d\\ & -24=a_1+9\cdot (-4)\\ & a_1=-24+36=12\end{array}$$
2. Obliczamy szósty wyraz, podstawiając $a_1=12$ oraz $d=-4$.
   $$a_6=a_1+5d=12+5\cdot (-4)=12-20=-8$$

1. Zapisujemy wyrazy $a_3$ i $a_6$ przez pierwszy wyraz $a_1$ i iloraz $q$, a następnie podstawiamy do danego warunku.
   $$\begin{array}{rl}& a_3=a_1{q}^2,a_6=a_1{q}^5\\ & a_1{q}^2=-8\cdot a_1{q}^5\end{array}$$
2. Dzielimy obie strony przez $a_1{q}^2$ (wyrazy ciągu są różne od $0$, więc $a_1\ne 0$ i $q\ne 0$), a następnie wyznaczamy $q$.

1. Obliczamy trzy początkowe wyrazy ciągu:
   $$a_1=3\cdot 1^2-3\cdot 1=0,a_2=3\cdot 2^2-3\cdot 2=6,a_3=3\cdot 3^2-3\cdot 3=18$$
2. Sumujemy je:
   $$S_3=a_1+a_2+a_3=0+6+18=24$$

1. Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, korzystając ze wzoru rekurencyjnego:
   $$a_1=2,a_2=2\cdot 2+1=5,a_3=2\cdot 5+1=11$$

1. Wykres paraboli jest symetryczny względem prostej $x=1$, więc drugie miejsce zerowe leży w takiej samej odległości od osi symetrii jak $x=6$, po drugiej stronie:
   $$x_2=2\cdot 1-6=-4$$
2. Znamy postać iloczynową funkcji kwadratowej z miejscami zerowymi $6$ i $-4$ oraz współczynnikiem $\frac{1}{2}$ przy $x^2$:
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x-6)(x-(-4))=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$$

1. Obliczamy różnice kolejnych wyrazów: $a_1=0$, $a_2=6$, $a_3=18$, więc $a_2-a_1=6$, a $a_3-a_2=12$. Różnice nie są sobie równe, zatem ciąg $(a_n)$ NIE jest arytmetyczny — stwierdzenie pierwsze jest fałszywe (F).
2. Zapisujemy wzór ciągu w postaci iloczynowej:
   $$a_n=3n^2-3n=3n(n-1)$$
3. Liczby $n$ i $n-1$ to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich zawsze jest parzysta, a ich iloczyn $n(n-1)$ jest parzysty. Zatem $3n(n-1)$ też jest parzyste — wszystkie wyrazy ciągu są parzyste, stwierdzenie drugie jest prawdziwe (P).

1. Wiemy, że $f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$. Rozwijamy nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (x+4)(x-6)=x^2-2x-24\\ & f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-x-12\end{array}$$
2. Odczytujemy współczynniki: $b=-1$, $c=-12$. Oba są liczbami ujemnymi, więc oba stwierdzenia są fałszywe.

1. Obliczamy pierwsze trzy wyrazy ciągu:
   $$a_1=2,a_2=5,a_3=11$$
2. Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów:
   $$a_2-a_1=3,a_3-a_2=6$$
3. Różnice nie są równe, więc ciąg NIE jest arytmetyczny (F).
4. Sprawdzamy ilorazy kolejnych wyrazów:
   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{2},\frac{a_3}{a_2}=\frac{11}{5}$$
5. Ilorazy nie są równe, więc ciąg NIE jest geometryczny (F).

1. Podstawienie $x-3$ w miejsce $x$ przesuwa wykres funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo, więc oś symetrii też przesuwa się o $3$ w prawo:
   $$x=1+3=4$$