Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Najmniejsza wartość funkcji $f$ to $-4$ — jest osiągana w wierzchołku wykresu, zaznaczonym pełnym kółkiem, więc należy do zbioru wartości.
2. Prawa gałąź wykresu (od wierzchołka do prawego końca) rośnie w sposób ciągły od $-4$ do $3$, więc obejmuje już cały przedział $⟨-4,3⟩$. Lewa gałąź nie wykracza poza ten przedział, więc nie dodaje nowych wartości.
3. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨-4,3⟩$.

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i porządkujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 3(2x^2+1)<11x\\ & 6x^2+3-11x<0\\ & 6x^2-11x+3<0\end{array}$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu $6x^2-11x+3$:
   $$\Delta =(-11{)}^2-4\cdot 6\cdot 3=121-72=49$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe:
   $$x_1=\frac{11-7}{12}=\frac{1}{3},x_2=\frac{11+7}{12}=\frac{3}{2}$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy argumentów, dla których wartości funkcji są ujemne (bo mamy znak $<0$) – to przedział między miejscami zerowymi:
   
   $$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{3}{2}\right)$$

1. Dziedziną funkcji jest suma dziedzin poszczególnych gałęzi:
   $$(-5,-2]\cup (-2,1]\cup (1,3]=(-5,3]$$
2. Wyznaczamy zbiór wartości na każdej gałęzi. Na $(-5,-2]$ funkcja $-x-2$ maleje od nieosiąganej wartości $3$ (przy $x\to -5^{+}$) do wartości $0$ przy $x=-2$, czyli przyjmuje wartości $[0,3)$. Na $(-2,1]$ funkcja jest stale równa $0$. Na $(1,3]$ funkcja $x$ przyjmuje wartości $(1,3]$. Suma tych zbiorów daje cały przedział:
   $$[0,3)\cup \{0\}\cup (1,3]=[0,3]$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe. Na $(-5,-2]$ równanie $-x-2=0$ daje $x=-2$. Na $(-2,1]$ funkcja jest tożsamościowo równa zeru, więc cały ten przedział to miejsca zerowe. Na $(1,3]$ równanie $x=0$ nie ma rozwiązania w tym przedziale. Łącząc:
4. Obliczamy $f(-3)$ (argument $-3$ należy do pierwszej gałęzi):
   $$f(-3)=-(-3)-2=1$$
5. Rozwiązujemy nierówność $f(x)<1$ na każdej gałęzi. Na $(-5,-2]$: $-x-2<1\Rightarrow x>-3$, po przecięciu z dziedziną gałęzi daje $(-3,-2]$. Na $(-2,1]$: nierówność $0<1$ jest zawsze prawdziwa, więc cały przedział $(-2,1]$ spełnia warunek. Na $(1,3]$: $x<1$ nie ma rozwiązań w tym przedziale. Suma rozwiązań:

1. Iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Wyznaczamy rozwiązania z każdego czynnika:
   $$3x-12=0⟹x=4$$
2. Z drugiego czynnika:
   $$10+5x=0⟹x=-2$$
3. Z trzeciego czynnika:
   $$x-3=0⟹x=3$$
4. Obliczamy sumę wszystkich rozwiązań:
   $$4+(-2)+3=5$$

1. Oś symetrii paraboli o wzorze $f(x)=a{x}^2+bx+c$ wyraża się wzorem $x=-\frac{b}{2a}$. Tutaj $a=\frac{1}{2}$, a oś symetrii to $x=1$, więc:
   $$-\frac{b}{2\cdot \frac{1}{2}}=1$$
2. Rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& -b=1\\ & b=-1\end{array}$$

1. Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f$, czyli argument $x_0$, dla którego $f(x_0)=0$:
   $$\frac{1}{2}{x}_0-k=0⟹x_0=2k$$
2. Z warunku zadania miejsce zerowe jest większe od $2$:
   $$2k>2⟹k>1$$
3. Zatem liczba $k$ należy do przedziału $(1,+\infty )$.

1. Dziedziną funkcji jest suma przedziałów, na których jest ona określona:
   $$[-4,-2]\cup (-2,2]\cup (2,4)=[-4,4)$$
2. Odczytujemy wartości funkcji na poszczególnych kawałkach: na pierwszym ($x+5$) wartości rosną od $f(-4)=1$ do $f(-2)=3$, na drugim funkcja jest stała i równa $3$, a na trzecim ($-3x+9$) wartości maleją od $3$ (wyłącznie) do $-3$ (wyłącznie). Łącząc te zbiory wartości, otrzymujemy przedział:
   $$(-3,3]$$
3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie tam, gdzie wykres leży powyżej osi $Ox$. Na pierwszym i drugim kawałku wartości są dodatnie na całej ich dziedzinie. Na trzecim kawałku rozwiązujemy nierówność:
   $$-3x+9>0⟹x<3$$
4. Łącząc powyższe przedziały ($[-4,-2]$, $(-2,2]$ oraz $(2,3)$), otrzymujemy zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
   $$[-4,3)$$
5. Rozwiązujemy równanie $f(x)=3$ na każdym kawałku. Na pierwszym:
   $$x+5=3⟹x=-2$$
6. Ten wynik należy do dziedziny pierwszego kawałka. Na drugim kawałku funkcja jest stale równa $3$ dla każdego $x\in (-2,2]$. Na trzecim:
   $$-3x+9=3⟹x=2$$
7. Wartość $x=2$ nie należy do dziedziny trzeciego kawałka (jest już uwzględniona w drugim). Łącząc rozwiązania, otrzymujemy zbiór:
   $$[-2,2]$$

1. Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między jej miejscami zerowymi. Skoro jedno miejsce zerowe to $6$, a oś symetrii to $x=1$, drugie miejsce zerowe $x_2$ wyznaczamy z warunku:
   $$\frac{6+x_2}{2}=1$$
2. Rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& 6+x_2=2\\ & x_2=-4\end{array}$$
3. Funkcję kwadratową o współczynniku $a=\frac{1}{2}$ i miejscach zerowych $-4$ oraz $6$ zapisujemy w postaci iloczynowej.
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$$

1. Przesunięcie wykresu o $1$ jednostkę w prawo wzdłuż osi $Ox$ polega na zastąpieniu $x$ przez $x-1$ we wzorze funkcji:
   $$g(x)=f(x-1)=5(x-1)$$
2. Upraszczamy:
   $$g(x)=5x-5$$

1. Wzór $g(x)=f(x-3)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $x$. Oś symetrii przesuwa się o tyle samo.
2. Oś symetrii wykresu funkcji $f$ to $x=1$, więc oś symetrii wykresu funkcji $g$ to:
   $$x=1+3=4$$

1. Miejsce zerowe szukamy w każdym z kawałków funkcji. W pierwszym kawałku ($x\in (-5,-3]$) rozwiązujemy równanie $-2x-10=0$:
   $$-2x-10=0⟹x=-5$$
2. Liczba $-5$ nie należy jednak do przedziału $(-5,-3]$ (przedział jest otwarty w tym punkcie), więc w tym kawałku funkcja nie ma miejsca zerowego. W drugim kawałku ($x\in (-3,4]$) rozwiązujemy równanie $x-1=0$:
   $$x-1=0⟹x=1$$
3. Liczba $1$ należy do przedziału $(-3,4]$, więc miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $1$.
4. Obliczamy $f(-2)$: argument $-2$ należy do przedziału $(-3,4]$, więc korzystamy ze wzoru $f(x)=x-1$:
   $$f(-2)=-2-1=-3$$
5. Obliczamy $f(2)$: argument $2$ również należy do przedziału $(-3,4]$:
   $$f(2)=2-1=1$$
6. Obliczamy wartość wyrażenia:
   $$f(-2)+3\cdot f(2)=-3+3\cdot 1=-3+3=0$$

1. Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej, wykorzystując współrzędne wierzchołka $(3,6)$:
   $$f(x)=a(x-3{)}^2+6,a\ne 0$$
2. Parabola przechodzi przez punkt $(0,3)$, więc $f(0)=3$:
   $$a(0-3{)}^2+6=3$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 9a+6=3\\ & 9a=-3\\ & a=-\frac{1}{3}\end{array}$$
4. Zatem wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej to:
   $$f(x)=-\frac{1}{3}(x-3{)}^2+6$$

1. W pierwszym kawałku ($x\in (-5,-3]$) funkcja $f(x)=-2x-10$ jest malejąca. Dla $x$ dążącego do $-5$ wartość $f(x)$ dąży do $0$ (bez osiągnięcia), a dla $x=-3$ funkcja przyjmuje wartość $f(-3)=-2\cdot (-3)-10=-4$. W tym kawałku funkcja przyjmuje więc wartości z przedziału $[-4,0)$.
2. W drugim kawałku ($x\in (-3,4]$) funkcja $f(x)=x-1$ jest rosnąca. Dla $x$ dążącego do $-3$ wartość $f(x)$ dąży do $-4$ (bez osiągnięcia), a dla $x=4$ funkcja przyjmuje wartość $f(4)=4-1=3$. W tym kawałku funkcja przyjmuje wartości z przedziału $(-4,3]$.
3. Łącząc oba zbiory wartości, otrzymujemy zbiór wartości funkcji $f$:
   $$[-4,0)\cup (-4,3]=[-4,3]$$
4. Rozwiązujemy nierówność $f(x)<-2$ w pierwszym kawałku:
   $$\begin{array}{rl}-2x-10& <-2\\ -2x& <8\\ x& >-4\end{array}$$
5. Dla $x\in (-5,-3]$ otrzymujemy $x\in (-4,-3]$. W drugim kawałku:
   $$x-1<-2⟹x<-1$$
6. Dla $x\in (-3,4]$ otrzymujemy $x\in (-3,-1)$. Łącząc oba przedziały (punkt $x=-3$ należy do pierwszego z nich), otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:
   $$(-4,-3]\cup (-3,-1)=(-4,-1)$$