Zbiór zadań

Znaleziono 90 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy długość odcinka $AB$ (leży on na osi $y$):
   $$|AB|=4-0=4$$
2. Obliczamy długość odcinka $CD$ (leży on na osi $x$):
   $$|CD|=6-(-2)=8$$
3. Odcinki mają różne długości ($4\ne 8$), więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
4. Odcinek $AB$ leży na osi $y$ (jest pionowy), a odcinek $CD$ leży na osi $x$ (jest poziomy). Oś $y$ jest prostopadła do osi $x$, więc odcinki $AB$ i $CD$ też są prostopadłe – drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Obliczamy długość boku kwadratu jako odległość punktów $A$ i $B$.
   $$|AB|=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
2. Obwód kwadratu to poczwórna długość boku.
   $$\text{Obw}=4\cdot 4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$$

1. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty liczymy jako iloraz różnicy współrzędnych $y$ i różnicy współrzędnych $x$.
   $$\begin{array}{rl}& a=\frac{y_B-(-4)}{2-(-1)}\\ & 3=\frac{y_B+4}{3}\end{array}$$
2. Rozwiązujemy równanie względem $y_B$.
   $$\begin{array}{rl}& 9=y_B+4\\ & y_B=5\end{array}$$

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta $l$ ma postać $y=-\frac{1}{3}x+b$, gdzie $b$ trzeba wyznaczyć.
   $$y=-\frac{1}{3}x+b$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(2,-2)$, przez który przechodzi prosta $l$, i wyznaczamy $b$.
   $$\begin{array}{rl}& -2=-\frac{1}{3}\cdot 2+b\\ & -2=-\frac{2}{3}+b\\ & b=-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}\end{array}$$
3. Punkt przecięcia prostej z osią $Oy$ ma pierwszą współrzędną równą $0$, a jego druga współrzędna to właśnie wyraz wolny $b$.
   $$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$$

1. Bok kwadratu $AB$ obliczamy ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|AB|=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
2. Obwód kwadratu to poczwórna długość boku:
   $$\text{Obw}=4\cdot 4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$$

1. Zapisujemy równanie prostej $l$ w postaci kierunkowej $y=ax+b$, aby odczytać współczynnik kierunkowy:
   $$6x+y+7=0⟹y=-6x-7$$
2. Podobnie zapisujemy równanie prostej $k$:
   $$\begin{array}{rl}& (m-1)x+3y+5=0\\ & 3y=-(m-1)x-5\\ & y=-\frac{m-1}{3}x-\frac{5}{3}\end{array}$$
3. Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe:
   $$\begin{array}{rl}& -\frac{m-1}{3}=-6\\ & m-1=18\\ & m=19\end{array}$$

1. Środek okręgu to środek odcinka $AB$:
   $$S=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)=(2,0)$$
2. Promień to połowa długości średnicy $AB$:
   $$|AB|=\sqrt{(3-1{)}^2+(-1-1{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}⟹r=\sqrt{2}$$
3. Zapisujemy równanie okręgu o środku $(2,0)$ i promieniu $\sqrt{2}$ (czyli $r^2=2$):
   $$(x-2{)}^2+y^2=2$$

1. 
   
   Punkty $A$ i $C$ leżą na osi $Oy$, więc odcinek $AC$ jest pionowy i ma długość:
   $$|AC|=|2-(-3)|=5$$
2. Wysokość opuszczona z punktu $B$ na prostą $AC$ (czyli na oś $Oy$) jest równa pierwszej współrzędnej punktu $B$:
   $$h=2$$
3. Pole trójkąta:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$$

1. 
   
   Obliczamy kwadraty długości boków trójkąta:
   $$|AB{|}^2=2^2+4^2=20,|BC{|}^2=2^2+1^2=5,|AC{|}^2=0^2+5^2=25$$
2. Ponieważ suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego boku, z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wynika, że kąt przy wierzchołku $B$ jest prosty:
   $$|AB{|}^2+|BC{|}^2=20+5=25=|AC{|}^2$$
3. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej. Liczymy środek odcinka $AC$:
   $$\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac{1}{2}\right)$$