Zbiór zadań

Znaleziono 73 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wyznaczamy dziedzinę — mianownik nie może być równy zero:
   $$3x-5\ne 0\text{i}3-2x\ne 0⟹x\ne \frac{5}{3}\text{i}x\ne \frac{3}{2}$$
2. Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero:
   $$\begin{array}{rl}4-x& =0⟹x=4\\ 2x-3& =0⟹x=\frac{3}{2}\end{array}$$
3. Wartość $x=\frac{3}{2}$ nie należy do dziedziny (zeruje mianownik), więc odpada. Jedynym rozwiązaniem równania jest $x=4$ — równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

1. Równanie ma sens liczbowy, gdy mianownik jest różny od zera, czyli dla $x\ne -2$. Mnożymy obie strony równania przez $(x+2)$:
   $$4=(x-1)(x+2)$$
2. Wymnażamy nawiasy po prawej stronie i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}& 4=x^2+x-2\\ & x^2+x-6=0\end{array}$$
3. Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^2+x-6$:
   $$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25$$
4. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
   $$x_1=\frac{-1-5}{2}=-3,x_2=\frac{-1+5}{2}=2$$
5. Oba otrzymane rozwiązania są różne od $-2$, więc spełniają założenie i są rozwiązaniami danego równania.
   $$x=-3\text{lub}x=2$$

1. Sprawdzamy, czy $x=-2$ spełnia równanie z odpowiedzi D, podstawiając za $x$:
   $$\begin{array}{rl}& x^2(x+2)+2(x+2)=0\\ & (-2{)}^2\cdot ((-2)+2)+2\cdot ((-2)+2)=0\\ & 4\cdot 0+2\cdot 0=0\\ & 0=0\end{array}$$
2. Równość jest prawdziwa, więc $x=-2$ jest rozwiązaniem tego równania. W pozostałych równaniach liczba $(-2)$ nie spełnia warunków — w równaniu C mianownik $x+2$ się zeruje, a w równaniach A i B po podstawieniu otrzymujemy fałszywe równości.

1. Zapisujemy równanie: liczba przekątnych jest o $25$ większa od liczby boków $n$:
   $$\frac{n(n-3)}{2}=n+25$$
2. Mnożymy obie strony przez $2$ i porządkujemy:
   $$\begin{array}{rl}& n(n-3)=2n+50\\ & n^2-3n-2n-50=0\\ & n^2-5n-50=0\end{array}$$
3. Rozwiązujemy równanie kwadratowe ($\Delta =25+200=225$, $\sqrt{\Delta }=15$):
   $$n_1=\frac{5-15}{2}=-5,n_2=\frac{5+15}{2}=10$$
4. Liczba boków wielokąta musi być dodatnia, więc odrzucamy $n_1=-5$. Zostaje $n=10$ — dziesięciokąt.

1. Równanie ma sens liczbowy, gdy mianownik jest różny od zera:
   $$3x-2\ne 0⟹x\ne \frac{2}{3}$$
2. Mnożymy obie strony równania przez $(3x-2)$:
   $$3x+2=(3x-2)(4-x)$$
3. Wymnażamy prawą stronę i porządkujemy wyrazy:
   $$\begin{array}{rl}& 3x+2=12x-3x^2-8+2x\\ & 3x^2-11x+10=0\end{array}$$
4. Obliczamy wyróżnik trójmianu $3x^2-11x+10$:
   $$\Delta =(-11{)}^2-4\cdot 3\cdot 10=121-120=1$$
5. Wyznaczamy pierwiastki:
   $$x_1=\frac{11-1}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3},x_2=\frac{11+1}{6}=2$$
6. Oba rozwiązania są różne od $\frac{2}{3}$, więc są rozwiązaniami danego równania wymiernego.