Zbiór zadań

Znaleziono 101 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Trzeci wyraz ciągu to różnica sumy trzech początkowych wyrazów i sumy dwóch początkowych wyrazów:
   $$a_3=S_3-S_2$$
2. Obliczamy obie sumy z podanego wzoru:
   $$\begin{array}{rl}& S_3=3^2+2\cdot 3=9+6=15\\ & S_2=2^2+2\cdot 2=4+4=8\end{array}$$
3. Zatem trzeci wyraz ciągu jest równy:
   $$a_3=15-8=7$$

1. W ciągu geometrycznym wyraz $a_5$ wyraża się przez wyraz $a_2$ i iloraz $q$ w następujący sposób:
   $$a_5=a_2\cdot q^3$$
2. Podstawiamy dane wartości:
   $$54=2\cdot q^3$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& q^3=27\\ & q=3\end{array}$$

1. Obliczamy pierwsze kilka wyrazów ciągu:
   $$a_1=3\cdot (-1)+10=7,a_2=3\cdot 1+10=13,a_3=3\cdot (-1)+10=7$$
2. Sprawdzamy iloraz między kolejnymi wyrazami:
   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{13}{7},\frac{a_3}{a_2}=\frac{7}{13}$$
3. Ilorazy są różne, więc ciąg NIE jest geometryczny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
4. Ciąg jest naprzemienny: dla $n$ nieparzystych $a_n=7$, dla $n$ parzystych $a_n=13$. Wśród ośmiu początkowych wyrazów są po cztery wyrazy każdego rodzaju, więc suma wynosi:
   $$4\cdot 7+4\cdot 13=28+52=80$$
5. Otrzymana suma jest równa $80$, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
   $$2(4+2m)=5m+m$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 8+4m=6m\\ & 8=2m\\ & m=4\end{array}$$

1. Ponieważ ciąg jest arytmetyczny, środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
   $$2\cdot 4=(2m-5)+9$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 8=2m+4\\ & 2m=4\\ & m=2\end{array}$$
3. Podstawiamy $m=2$ do pierwszego wyrazu ciągu: $2m-5=-1$, więc ciąg to $(-1,4,9)$. Wyrazy rosną, więc ciąg jest rosnący.

1. Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu:
   $$a_1=(-1{)}^1\cdot (1-5)=4,a_3=(-1{)}^3\cdot (3-5)=2$$
2. Wyraz $a_1=4$ jest rzeczywiście dwa razy większy od wyrazu $a_3=2$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Obliczamy drugi wyraz ciągu:
   $$a_2=(-1{)}^2\cdot (2-5)=-3$$
4. Ponieważ $a_2=-3<0$, nie wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).
   Dodatkowo wyrażenie $(-1{)}^n$ jest zawsze ujemne dla nieparzystych $n$ i dodatnie dla parzystych, więc od pewnego momentu ten ciąg będzie zmieniał znak z plusa na minus co wyraz.

1. Ponieważ ciąg jest geometryczny, kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$6^2=12\cdot (2m-1)$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 36=24m-12\\ & 24m=48\\ & m=2\end{array}$$
3. Iloraz ciągu wynosi $q=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Ponieważ $0<q<1$, a wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, ciąg jest malejący.

1. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
   $$q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{6}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$
2. Piąty wyraz obliczamy, mnożąc $a_3$ dwukrotnie przez iloraz:
   $$a_5=a_3\cdot q^2=\frac{1}{9}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}\cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{81}$$

1. Sprawdzamy, jakie wartości przyjmuje wyrażenie $(-1{)}^{n+1}$ w zależności od parzystości $n$. Dla $n$ nieparzystego wykładnik $n+1$ jest parzysty, więc $(-1{)}^{n+1}=1$, a dla $n$ parzystego wykładnik $n+1$ jest nieparzysty, więc $(-1{)}^{n+1}=-1$. Zatem:
   $$a_n=\{\begin{array}{ll}2\cdot 1+5=7& \text{gdy }n\text{ nieparzyste}\\ 2\cdot (-1)+5=3& \text{gdy }n\text{ parzyste}\end{array}$$
2. Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć wyrazów nieparzystych (równych $7$) i pięć parzystych (równych $3$). Obliczamy sumę:
   $$S=5\cdot 7+5\cdot 3=35+15=50$$

1. Kolejne wyrazy ciągu to na przemian $7$ i $3$:
   $$a_1=7,a_2=3,a_3=7,a_4=3,\dots$$
2. Wyrazy nie są coraz mniejsze (rosną i maleją naprzemiennie), więc ciąg nie jest malejący — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Sprawdzamy, czy iloraz kolejnych wyrazów jest stały:
   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{7}\ne \frac{7}{3}=\frac{a_3}{a_2}$$
4. Ilorazy są różne, więc ciąg nie jest geometryczny — drugie stwierdzenie jest fałszywe (F). Odpowiedź: FF.

1. Obliczamy różnicę ciągu arytmetycznego:
   $$r=a_2-a_1=13-7=6$$
2. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
   $$a_{10}=a_1+9r=7+9\cdot 6=7+54=61$$

1. W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, więc:
   $$\begin{array}{rl}& 2-(-1)=x-2\\ & 3=x-2\\ & x=5\end{array}$$
2. W ciągu geometrycznym iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały. Obliczamy iloraz i wyznaczamy $y$:
   $$\begin{array}{rl}& q=\frac{2}{-1}=-2\\ & y=2\cdot q=2\cdot (-2)=-4\end{array}$$
3. Otrzymujemy $x=5>0$ oraz $y=-4<0$, czyli $x>0$ i $y<0$.