Zbiór zadań

Znaleziono 20 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Bok kwadratu $AB$ obliczamy ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|AB|=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
2. Obwód kwadratu to poczwórna długość boku:
   $$\text{Obw}=4\cdot 4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$$

1. Zapisujemy równanie prostej $l$ w postaci kierunkowej $y=ax+b$, aby odczytać współczynnik kierunkowy:
   $$6x+y+7=0⟹y=-6x-7$$
2. Podobnie zapisujemy równanie prostej $k$:
   $$(m-1)x+3y+5=0⟹y=-\frac{m-1}{3}x-\frac{5}{3}$$
3. Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe:
   $$-\frac{m-1}{3}=-6⟹m-1=18⟹m=19$$

1. Środek okręgu to środek odcinka $AB$:
   $$S=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)=(2,0)$$
2. Promień to połowa długości średnicy $AB$:
   $$|AB|=\sqrt{(3-1{)}^2+(-1-1{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}⟹r=\sqrt{2}$$
3. Zapisujemy równanie okręgu o środku $(2,0)$ i promieniu $\sqrt{2}$ (czyli $r^2=2$):
   $$(x-2{)}^2+y^2=2$$

1. 
   
   Punkty $A$ i $C$ leżą na osi $Oy$, więc odcinek $AC$ jest pionowy i ma długość:
   $$|AC|=|2-(-3)|=5$$
2. Wysokość opuszczona z punktu $B$ na prostą $AC$ (czyli na oś $Oy$) jest równa odciętej punktu $B$:
   $$h=2$$
3. Pole trójkąta:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$$

1. Sprawdzamy, w którym wierzchołku jest kąt prosty, licząc iloczyn skalarny wektorów $BA$ i $BC$:
   $$\overrightarrow{BA}=(-2,-4),\overrightarrow{BC}=(-2,1),\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=4-4=0$$
2. Kąt prosty jest w wierzchołku $B$, więc przeciwprostokątną jest odcinek $AC$. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej:
   $$\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac{1}{2}\right)$$

1. Sprawdzamy odległość punktu $A$ od środka $S$:
   $$|SA{|}^2=(4-1{)}^2+(-7-(-3){)}^2=9+16=25=5^2$$
2. Ponieważ $|SA|=5=r$, punkt $A$ leży na okręgu — pierwsze zdanie jest prawdziwe.
3. Poprawne równanie okręgu to $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ (promień podniesiony do kwadratu), a nie $=5$ — drugie zdanie jest fałszywe.

1. Prosta $l$ jest równoległa do $k$, więc ma taki sam współczynnik kierunkowy $a=-\frac{1}{3}$. Zapisujemy jej wzór jako $y=-\frac{1}{3}x+b$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(2,-2)$:
   $$\begin{array}{rl}-2& =-\frac{1}{3}\cdot 2+b\\ -2& =-\frac{2}{3}+b\\ b& =-\frac{4}{3}\end{array}$$
3. Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie:
   $$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$$

1. Punkt $S$ to środek przekątnej $AC$ (przecięcie przekątnych kwadratu), więc odległość $|AS|$ to połowa długości przekątnej. Obliczamy tę odległość:
   $$|AS|=\sqrt{(4-1{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
2. Przekątna kwadratu jest dwa razy dłuższa od $|AS|$:
   $$|AC|=2\cdot 5=10$$

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta $l$ też ma współczynnik kierunkowy równy $5$. Ponieważ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$, jej równanie ma postać:
   $$l:y=5x-4$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(p,2)$ do równania prostej $l$:
   $$2=5p-4$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie:
   $$5p=6⟹p=\frac{6}{5}$$

1. Z równania okręgu $\mathcal{O}$ odczytujemy jego środek i promień:
   $$S=(-1,2),r=3$$
2. W symetrii osiowej względem osi $Oy$ punkt o współrzędnych $(x,y)$ przechodzi na punkt $(-x,y)$, więc środek okręgu przechodzi na punkt:
   $$S^{\prime }=(1,2)$$
3. Promień się nie zmienia, więc okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem:
   $$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9$$

1. Proste są równoległe wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
   $$m-2=-4$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$m=-4+2=-2$$

1. Promień okręgu jest równy odległości między środkiem $S$ a punktem $P$ leżącym na okręgu. Obliczamy kwadrat promienia:
   $$r^2=(0-2{)}^2+(0-4{)}^2=4+16=20$$
2. Podstawiamy środek $S=(2,4)$ i wyznaczony promień do równania okręgu:
   $$(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=20$$

1. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$:
   $$(m+1)\cdot (-2)=-1$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& -2m-2=-1\\ & -2m=1\\ & m=-\frac{1}{2}\end{array}$$