Zbiór zadań

Znaleziono 61 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty liczymy jako iloraz różnicy współrzędnych $y$ i różnicy współrzędnych $x$.
   $$\begin{array}{rl}& a=\frac{y_B-(-4)}{2-(-1)}\\ & 3=\frac{y_B+4}{3}\end{array}$$
2. Rozwiązujemy równanie względem $y_B$.
   $$\begin{array}{rl}& 9=y_B+4\\ & y_B=5\end{array}$$

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta $l$ ma postać $y=-\frac{1}{3}x+b$, gdzie $b$ trzeba wyznaczyć.
   $$y=-\frac{1}{3}x+b$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(2,-2)$, przez który przechodzi prosta $l$, i wyznaczamy $b$.
   $$\begin{array}{rl}& -2=-\frac{1}{3}\cdot 2+b\\ & -2=-\frac{2}{3}+b\\ & b=-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}\end{array}$$
3. Punkt przecięcia prostej z osią $Oy$ ma pierwszą współrzędną równą $0$, a jego druga współrzędna to właśnie wyraz wolny $b$.
   $$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$$

1. Zapisujemy równanie prostej $l$ w postaci kierunkowej $y=ax+b$, aby odczytać współczynnik kierunkowy:
   $$6x+y+7=0⟹y=-6x-7$$
2. Podobnie zapisujemy równanie prostej $k$:
   $$\begin{array}{rl}& (m-1)x+3y+5=0\\ & 3y=-(m-1)x-5\\ & y=-\frac{m-1}{3}x-\frac{5}{3}\end{array}$$
3. Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe:
   $$\begin{array}{rl}& -\frac{m-1}{3}=-6\\ & m-1=18\\ & m=19\end{array}$$

1. Bok kwadratu $AB$ obliczamy ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|AB|=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
2. Obwód kwadratu to poczwórna długość boku:
   $$\text{Obw}=4\cdot 4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$$

1. Środek okręgu to środek odcinka $AB$:
   $$S=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)=(2,0)$$
2. Promień to połowa długości średnicy $AB$:
   $$|AB|=\sqrt{(3-1{)}^2+(-1-1{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}⟹r=\sqrt{2}$$
3. Zapisujemy równanie okręgu o środku $(2,0)$ i promieniu $\sqrt{2}$ (czyli $r^2=2$):
   $$(x-2{)}^2+y^2=2$$

1. 
   
   Punkty $A$ i $C$ leżą na osi $Oy$, więc odcinek $AC$ jest pionowy i ma długość:
   $$|AC|=|2-(-3)|=5$$
2. Wysokość opuszczona z punktu $B$ na prostą $AC$ (czyli na oś $Oy$) jest równa pierwszej współrzędnej punktu $B$:
   $$h=2$$
3. Pole trójkąta:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$$

1. 
   
   Obliczamy kwadraty długości boków trójkąta:
   $$|AB{|}^2=2^2+4^2=20,|BC{|}^2=2^2+1^2=5,|AC{|}^2=0^2+5^2=25$$
2. Ponieważ suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego boku, z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wynika, że kąt przy wierzchołku $B$ jest prosty:
   $$|AB{|}^2+|BC{|}^2=20+5=25=|AC{|}^2$$
3. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej. Liczymy środek odcinka $AC$:
   $$\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac{1}{2}\right)$$

1. Sprawdzamy odległość punktu $A$ od środka $S$:
   $$|SA{|}^2=(4-1{)}^2+(-7-(-3){)}^2=9+16=25=5^2$$
2. Ponieważ $|SA|=5=r$, punkt $A$ leży na okręgu (P).
3. Poprawne równanie okręgu to $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ (promień podniesiony do kwadratu), a nie $=5$ (F).

1. Prosta $l$ jest równoległa do $k$, więc ma taki sam współczynnik kierunkowy $a=-\frac{1}{3}$. Zapisujemy jej wzór jako $y=-\frac{1}{3}x+b$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(2,-2)$:
   $$\begin{array}{rl}-2& =-\frac{1}{3}\cdot 2+b\\ -2& =-\frac{2}{3}+b\\ b& =-2+\frac{2}{3}\\ b& =-\frac{4}{3}\end{array}$$
3. Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie:
   $$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$$

1. Punkt $S$ to środek przekątnej $AC$ (przecięcie przekątnych kwadratu), więc odległość $|AS|$ to połowa długości przekątnej. Obliczamy tę odległość:
   $$|AS|=\sqrt{(4-1{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
2. Przekątna kwadratu jest dwa razy dłuższa od $|AS|$:
   $$|AC|=2\cdot 5=10$$