Zbiór zadań

Znaleziono 75 zadań. Losuj z tych filtrów

1. W ciągu geometrycznym o pięciu wyrazach środkowy wyraz to $a_3=2$. Skrajne wyrazy z każdej strony środka są tak samo oddalone, więc ich iloczyny równają się kwadratowi środka: $a_1\cdot a_5=a_3^2$ oraz $a_2\cdot a_4=a_3^2$.
2. Cały iloczyn to więc piąta potęga środkowego wyrazu.
   $$a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5=a_3^5=2^5=32$$

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$. Z warunku $a_5=17$ wyznaczamy różnicę $r$:
   $$\begin{array}{rl}& a_5=a_1+4r\\ & 17=1+4r\\ & r=4\end{array}$$
2. Obliczamy dziewiąty wyraz ciągu:
   $$a_9=a_1+8r=1+8\cdot 4=33$$

1. Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, odejmując za każdym razem $6$ od poprzedniego wyrazu:
   $$\begin{array}{rl}{a}_1& =2\\ a_2& =2-6=-4\\ a_3& =-4-6=-10\\ a_4& =-10-6=-16\\ a_5& =-16-6=-22\end{array}$$

1. Wzór rekurencyjny $a_{n+1}=a_n-6$ oznacza, że różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi $-6$ — ciąg jest więc arytmetyczny (P).
2. Ponieważ różnica ciągu jest ujemna ($r=-6<0$), każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego — ciąg jest malejący (P).

1. Zapisujemy wyrazy $a_3$, $a_6$, $a_2$ i $a_7$ za pomocą pierwszego wyrazu $a_1$ i ilorazu $q$.
   $$\begin{array}{rl}& a_3=a_1{q}^2\\ & a_6=a_1{q}^5\\ & a_2=a_{1}q\\ & a_7=a_1{q}^6\end{array}$$
2. Mnożymy $a_3$ przez $a_6$ oraz $a_2$ przez $a_7$ — w obu iloczynach suma wykładników przy $q$ jest taka sama (bo $3+6=2+7=9$), więc oba iloczyny są sobie równe.
3. Skoro oba iloczyny to to samo wyrażenie, to $a_2\cdot a_7$ jest równe $a_3\cdot a_6$.

1. Policzmy kilka pierwszych wyrazów. Wzór $a_{n+1}=a_n+2$ mówi, że każdy następny wyraz powstaje przez dodanie $2$ do poprzedniego:
   $$\begin{array}{rl}{a}_1& =5\\ a_2& =a_1+2=5+2=7\\ a_3& =a_2+2=7+2=9\\ a_4& =a_3+2=9+2=11\end{array}$$
2. Można zauważyć, że za każdym razem dodajemy tę samą liczbę $2$, więc różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała i wynosi $2$. Dokładnie tak zachowuje się ciąg arytmetyczny, dlatego $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie $a_1=5$ i różnicy $r=2$.
3. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
   $$S_{100}=\frac{100}{2}\left(2a_1+99r\right)=50\left(10+198\right)=50\cdot 208=10400$$

1. Obliczamy różnicę ciągu:
   $$\begin{array}{rl}& a_5=a_1+4r\\ & 17=1+4r\\ & r=4\end{array}$$
2. Obliczamy dziewiąty wyraz:
   $$a_9=a_1+8r=1+8\cdot 4=33$$

1. Zapisujemy wyrazy $a_6$ i $a_8$ za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu $q$:
   $$a_6=a_1{q}^5,a_8=a_1{q}^7$$
2. Podstawiamy do warunku zadania i dzielimy obie strony przez $a_1{q}^5$ (w ciągu geometrycznym $a_1\ne 0$ i $q\ne 0$, więc wolno):
3. Ciąg jest malejący. Iloraz ujemny dawałby ciąg naprzemienny (niemonotoniczny), więc odrzucamy $q=-\frac{1}{5}$. Pozostaje $q=\frac{1}{5}$, dla którego (przy dodatnim $a_1$) ciąg rzeczywiście maleje.

1. Oznaczmy iloraz ciągu geometrycznego przez $q$. Środkowy wyraz to $a_3=2$, więc:
   $$a_1=\frac{2}{q^2},a_2=\frac{2}{q},a_4=2q,a_5=2q^2$$
2. Mnożymy skrajne pary wyrazów, w każdej z nich czynniki $q$ się skracają:
   $$a_1\cdot a_5=\frac{2}{q^2}\cdot 2q^2=2^2,a_2\cdot a_4=\frac{2}{q}\cdot 2q=2^2$$
3. Cały iloczyn to zatem $2^2\cdot 2^2\cdot 2$, czyli piąta potęga środkowego wyrazu:
   $$a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5=2^5=32$$

1. Oznaczmy pierwszy wyraz przez $a_1$ i iloraz przez $q$. Wtedy:
   $$\begin{array}{rl}& a_3\cdot a_6=a_1{q}^2\cdot a_1{q}^5\\ & a_3\cdot a_6=a_1^2{q}^7\end{array}$$
2. Podobnie $a_2\cdot a_7$:
   $$\begin{array}{rl}& a_2\cdot a_7=a_{1}q\cdot a_1{q}^6\\ & a_2\cdot a_7=a_1^2{q}^7\end{array}$$
3. Więc wychodzi na to, że oba wyrażenia możno sprowadzić do tego samego $a_2\cdot a_7=a_1^2{q}^7=a_3\cdot a_6$, więc:

1. Zapisuję sumę wyrazów ciągu na podstawie treści zadania.
   $$7+a_2+a_3+a_4=54$$
2. Korzystam ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$ i zapisuję każdy wyraz za pomocą różnicy $r$.
   $$7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54$$
3. Redukuję wyrazy podobne i rozwiązuję otrzymane równanie z niewiadomą $r$.
   $$\begin{array}{rl}& 28+6r=54\\ & 6r=26\\ & r=\frac{13}{3}\end{array}$$
4. Obliczam drugi wyraz ciągu.
   $$a_2=7+r=7+\frac{13}{3}=\frac{34}{3}$$