Zbiór zadań

Znaleziono 20 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Wyłączamy $x$ przed nawias:
   $$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)$$
2. Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie to kwadrat różnicy:
   $$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$
3. Zatem:
   $$x^3-2x^2+x=x(x-1{)}^2$$

1. Rozwiązujemy równanie, przenosząc wyrazy z $a$ na jedną stronę, a liczby na drugą:
   $$\begin{array}{rl}& 3a-4=a+2\\ & 3a-a=2+4\\ & 2a=6\\ & a=3\end{array}$$
2. Równość jest spełniona dla $a=3$ — to odpowiedź A.
3. Upraszczamy drugie wyrażenie: opuszczamy nawiasy (przed drugim jest znak minus, więc zmieniamy znaki wewnątrz) i redukujemy wyrazy podobne:
   $$(3a-4)-(a+2)=3a-4-a-2=2a-6$$
4. Otrzymane wyrażenie jest równe $2a-6$ — to odpowiedź D. Odpowiedzi: A, D.

1. Licznik pierwszego ułamka to wzór skróconego mnożenia:
   $$x^2+20x+100=(x+10{)}^2$$
2. Podstawiamy i mnożymy ułamki:
   $$\frac{(x+10{)}^2}{x^3}\cdot \frac{x^2}{x+10}=\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}$$
3. Skracamy czynnik $(x+10)$ oraz $x^2$:
   $$\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}=\frac{x+10}{x}$$

1. Obliczamy iloczyn $V(x)\cdot H(x)$:
   $$V(x)\cdot H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2$$
2. Odejmujemy od $W(x)$:
   $$W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^4-2x^3+x-2)$$
3. Upraszczamy:
   $$x^4-x^4+2x^3-x+2=2x^3-x+2$$

1. Oznaczmy cenę jednej ładowarki przez $x$. Dysk USB jest $2$ razy tańszy od ładowarki, więc jego cena to $\frac{x}{2}$, a komplet słuchawek jest $4$ razy droższy od ładowarki, więc jego cena to $4x$.
2. Aleks kupił jeden komplet słuchawek, dwie ładowarki i dwa dyski USB — zapisujemy sumę kosztów:
   $$4x+2x+2\cdot \frac{x}{2}$$
3. Upraszczamy wyrażenie, redukując wyrazy podobne:
   $$4x+2x+x=7x$$

1. Zauważmy, że wyrażenie jest kwadratem sumy:
   $$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$$
2. Podstawiamy $x=\sqrt{2}-5$:
   $$(\sqrt{2}-5+5{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$$

1. Zapisujemy sumę trzech kolejnych liczb naturalnych i upraszczamy wyrażenie:
   $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$$
2. Wyłączamy $3$ przed nawias:
   $$3n+3=3(n+1)$$
3. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to $(n+1)$ też jest liczbą naturalną, więc suma $3(n+1)$ jest zawsze podzielna przez $3$ (odpowiedź B).

1. Podstawiamy $n=100$ do wzoru na sumę:
   $$S=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 101=5050$$
2. To odpowiada literze B. Teraz przekształcamy wzór, mnożąc wyrażenie w nawiasie przez $\frac{1}{2}n$:
   $$S=\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$$
3. To odpowiada literze D. Prawidłowe odpowiedzi to B oraz D.

1. Liczymy pierwszy nawias:
   $$(3x+2{)}^2=9x^2+12x+4$$
2. Liczymy drugi nawias:
   $$(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$$
3. Odejmujemy wyrażenia:
   $$(9x^2+12x+4)-(4x^2-12x+9)=5x^2+24x-5$$

1. Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka na czynniki:
   $$x^2+x=x(x+1),x^2+4x+4=(x+2{)}^2$$
2. Podstawiamy i zapisujemy iloczyn ułamków:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}$$
3. Skracamy $x$ w licznikach i mianownikach oraz jeden czynnik $(x+2)$:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ dla $x=2a+b$ i $y=2a-b$:
   $$(2a+b{)}^2-(2a-b{)}^2=\left[(2a+b)-(2a-b)\right]\cdot \left[(2a+b)+(2a-b)\right]$$
2. Upraszczamy oba nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (2a+b)-(2a-b)=2b\\ & (2a+b)+(2a-b)=4a\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2b\cdot 4a=8ab$$

1. Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność. Rozkładamy $x^2-1=(x-1)(x+1)$:
   $$\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
2. Skracamy $x$ i $(x+1)$:
   $$\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{3x^2}=\frac{1}{3x(x-1)}=\frac{1}{3x^2-3x}$$

1. Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie – mnożymy wielomiany $F$ i $G$:
   $$F(x)\cdot G(x)=3x\left(x^2+2x+3\right)=3x^3+6x^2+9x=W(x)$$
2. Iloczyn $F(x)\cdot G(x)$ jest równy $W(x)$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Sprawdzamy drugie stwierdzenie – obliczamy wartość wielomianu $W$ dla $x=-1$:
   $$W(-1)=3\cdot (-1{)}^3+6\cdot (-1{)}^2+9\cdot (-1)=-3+6-9=-6$$
4. Ponieważ $W(-1)=-6\ne 0$, liczba $(-1)$ nie jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$ – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Stosujemy wzór $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, gdzie $A=2a-3$, $B=2a+3$:
   $$[(2a-3)-(2a+3)]\cdot [(2a-3)+(2a+3)]=(-6)(4a)=-24a$$