Zbiór zadań

Znaleziono 43 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wyłączamy $x$ przed nawias:
   $$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)$$
2. Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie to kwadrat różnicy:
   $$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$
3. Zatem:
   $$x^3-2x^2+x=x(x-1{)}^2$$

1. Rozwiązujemy równanie, przenosząc wyrazy z $a$ na jedną stronę, a liczby na drugą:
   $$\begin{array}{rl}& 3a-4=a+2\\ & 3a-a=2+4\\ & 2a=6\\ & a=3\end{array}$$
2. Równość jest spełniona dla $a=3$ — to odpowiedź A.
3. Upraszczamy drugie wyrażenie: opuszczamy nawiasy (przed drugim jest znak minus, więc zmieniamy znaki wewnątrz) i redukujemy wyrazy podobne:
   $$(3a-4)-(a+2)=3a-4-a-2=2a-6$$
4. Otrzymane wyrażenie jest równe $2a-6$ — to odpowiedź D. Odpowiedzi: A, D.

1. Licznik pierwszego ułamka to wzór skróconego mnożenia:
   $$x^2+20x+100=(x+10{)}^2$$
2. Podstawiamy i mnożymy ułamki:
   $$\frac{(x+10{)}^2}{x^3}\cdot \frac{x^2}{x+10}=\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}$$
3. Skracamy czynnik $(x+10)$ oraz $x^2$:
   $$\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}=\frac{x+10}{x}$$

1. Oznaczmy cenę jednej ładowarki przez $x$. Dysk USB jest $2$ razy tańszy od ładowarki, więc jego cena to $\frac{x}{2}$, a komplet słuchawek jest $4$ razy droższy od ładowarki, więc jego cena to $4x$.
2. Aleks kupił jeden komplet słuchawek, dwie ładowarki i dwa dyski USB — zapisujemy sumę kosztów:
   $$4x+2x+2\cdot \frac{x}{2}$$
3. Upraszczamy wyrażenie, redukując wyrazy podobne:
   $$4x+2x+x=7x$$

1. Obliczamy iloczyn $V(x)\cdot H(x)$:
   $$V(x)\cdot H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2$$
2. Odejmujemy od $W(x)$:
   $$W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^4-2x^3+x-2)$$
3. Upraszczamy:
   $$x^4-x^4+2x^3-x+2=2x^3-x+2$$

1. Zauważmy, że wyrażenie jest kwadratem sumy:
   $$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$$
2. Podstawiamy $x=\sqrt{2}-5$:
   $$(\sqrt{2}-5+5{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$$

1. Zapisujemy sumę trzech kolejnych liczb naturalnych i upraszczamy wyrażenie:
   $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$$
2. Wyłączamy $3$ przed nawias:
   $$3n+3=3(n+1)$$
3. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to $(n+1)$ też jest liczbą naturalną, więc suma $3(n+1)$ jest zawsze podzielna przez $3$ (odpowiedź B).

1. Podstawiamy $n=100$ do wzoru na sumę:
   $$S=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 101=5050$$
2. To odpowiada literze B. Teraz przekształcamy wzór, mnożąc wyrażenie w nawiasie przez $\frac{1}{2}n$:
   $$S=\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$$
3. To odpowiada literze D. Prawidłowe odpowiedzi to B oraz D.

1. Zamieniamy liczby na ułamki o wspólnym mianowniku.
   $$2,4=\frac{12}{5}=\frac{36}{15},5\frac{1}{3}=\frac{16}{3}=\frac{80}{15}$$
2. Obliczamy różnicę w nawiasie.
   $$\frac{36}{15}-\frac{80}{15}=-\frac{44}{15}$$
3. Dzielimy otrzymany wynik przez $-2$.
   $$-\frac{44}{15}:(-2)=\frac{44}{15}\cdot \frac{1}{2}=\frac{44}{30}=\frac{22}{15}=1\frac{7}{15}$$
4. Wartość wyrażenia jest równa $1\frac{7}{15}$ (odpowiedź C).

1. Liczymy pierwszy nawias:
   $$(3x+2{)}^2=9x^2+12x+4$$
2. Liczymy drugi nawias:
   $$(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$$
3. Odejmujemy wyrażenia:
   $$(9x^2+12x+4)-(4x^2-12x+9)=5x^2+24x-5$$

1. Wprowadzamy oznaczenia liczby piłek poszczególnych kolorów:
   

   • $x$ - liczba piłek fioletowych
   • $4x$ - liczba piłek białych (cztery razy więcej niż fioletowych)
   • $4x+3$ - liczba piłek czarnych (białych jest o $3$ mniej niż czarnych, czyli czarnych jest o $3$ więcej niż białych)
2. Obliczamy łączną liczbę piłek.
   $$x+4x+(4x+3)=9x+3$$
3. Łączną liczbę piłek opisuje wyrażenie $9x+3$ (odpowiedź A).

1. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ dla $a=3x+y$, $b=3x-y$:
   $$(3x+y{)}^2-(3x-y{)}^2=\left[(3x+y)+(3x-y)\right]\cdot \left[(3x+y)-(3x-y)\right]$$
2. Upraszczamy nawiasy i mnożymy:
   $$\begin{array}{rl}& =6x\cdot 2y\\ & =12xy\end{array}$$

1. Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka na czynniki:
   $$x^2+x=x(x+1),x^2+4x+4=(x+2{)}^2$$
2. Podstawiamy i zapisujemy iloczyn ułamków:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}$$
3. Skracamy $x$ w licznikach i mianownikach oraz jeden czynnik $(x+2)$:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$$

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $x$ - wiek Ani
   • Kasia jest $3$ razy starsza od Ani, więc jej wiek to $3x$
   • Ola jest o $2$ lata starsza od Kasi, więc jej wiek to $3x+2$
2. Obliczamy łączny wiek Kasi, Ani i Oli, dodając wyrażenia opisujące ich wiek:
   $$x+3x+(3x+2)=7x+2$$
3. Łączny wiek Kasi, Ani i Oli opisuje wyrażenie $7x+2$ (odpowiedź D).