Zbiór zadań

Znaleziono 35 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Iloczyn jest równy zero, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero. Z czynnika $2x=0$ otrzymujemy:
   $$x=0$$
2. Z czynnika $x^2-3=0$ otrzymujemy:
   $$x^2=3⟹x=-\sqrt{3}\text{lub}x=\sqrt{3}$$
3. Sprawdzamy wyróżnik trójmianu $x^2+2x+3$:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0$$
4. Ujemny wyróżnik oznacza brak rozwiązań rzeczywistych tego czynnika. Łącznie równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste: $x=0$, $x=-\sqrt{3}$, $x=\sqrt{3}$.

1. Skoro w każdym z $10$ koszy jest tyle samo owoców, a łącznie jest ich $400$, to w jednym koszu jest:
   $$T=\frac{400}{10}=40$$
2. Niech $p$ oznacza liczbę pomarańczy w jednym koszu. Wtedy liczba jabłek w tym koszu to $p+6$. Razem w jednym koszu jest $40$ owoców, więc układamy równanie:
   $$p+(p+6)=40$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2p+6=40\\ & 2p=34\\ & p=17\end{array}$$
4. Liczba jabłek w jednym koszu to $p+6=17+6=23$. Łącznie w $10$ koszach jest:
   $$23\cdot 10=230$$

1. Wynik mnożenia jest równy $0$ gdy jeden z czynników jest równy $0$. Przyrównajmy do zera każdy z czynników tego równania:
   $$\begin{array}{rl}& x+3=0\\ & x=-3\end{array}\begin{array}{rl}& x-m=0\\ & x=m\end{array}\begin{array}{rl}& 2x+4=0\\ & 2x=-4\\ & x=-2\end{array}$$
2. Z treści zadania wiemy że suma rozwiązań jest równa $0$:
   $$-3+m+(-2)=0$$
3. Stąd:
   $$m=5$$

1. Mnożymy równanie na krzyż:
   $$5(x+2)=2(3x-1)$$
2. Rozwiązujemy:
   $$\begin{array}{rl}5x+10& =6x-2\\ 10+2& =6x-5x\\ x& =12\end{array}$$

1. Wszystkich drzew jest łącznie $198$, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje:
   $$x+y=198$$
2. Gdyby drzew iglastych było o $18$ więcej (czyli $x+18$), to drzew liściastych byłoby $3$ razy więcej niż iglastych. Liczba $y$ nie zmienia się, więc:
   $$y=3(x+18)$$
3. Otrzymany układ równań odpowiada odpowiedzi D.

1. Dzielimy pierwsze równanie przez $20$, a drugie przez $26$, otrzymując prostszy układ:
   $$\{\begin{array}{l}x+y=\frac{1}{20}\\ x-y=\frac{1}{26}\end{array}$$
2. Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć $x_0$:
   $$2x=\frac{1}{20}+\frac{1}{26}=\frac{13+10}{260}=\frac{23}{260}⟹x_0=\frac{23}{520}$$
3. Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć $y_0$:
   $$2y=\frac{1}{20}-\frac{1}{26}=\frac{13-10}{260}=\frac{3}{260}⟹y_0=\frac{3}{520}$$
4. Obie liczby $x_0$ oraz $y_0$ są dodatnie, więc ich suma i iloczyn również są liczbami dodatnimi: obydwa stwierdzenia są prawdziwe (P, P).