Zbiór zadań

Znaleziono 97 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Objętość pierwszego prostopadłościanu:
   $$V_1=5\cdot 6\cdot 10=300$$
2. Objętość drugiego prostopadłościanu:
   $$V_2=6\cdot 6\cdot 10=360$$
3. Różnica objętości:
   $$V_2-V_1=360-300=60$$
4. Zatem objętość pierwszego prostopadłościanu to $300$, a różnica objętości to $60$.

1. 
   
   Siatka sześcianu składa się z $6$ przystających kwadratów (ścian). Obwód tej siatki (zaznaczony na czerwono) to suma boków zewnętrznych, jest ich $14$.
2. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Obwód siatki to $14$ takich boków, więc:
   $$14a=70⟹a=5$$
3. Pole powierzchni całkowitej sześcianu to suma pól jego $6$ ścian:
   $$P=6a^2=6\cdot 5^2=6\cdot 25=150$$

1. Trzy sześciany o krawędzi $5$ ustawione jeden na drugim tworzą prostopadłościan o podstawie $5\times 5$ i wysokości równej $3\cdot 5=15$.
2. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $a=5$, $b=5$, $c=15$ obliczamy ze wzoru:
   $$P=2(ab+ac+bc)=2\left(5\cdot 5+5\cdot 15+5\cdot 15\right)$$
3. Wykonujemy obliczenia:
   $$P=2(25+75+75)=2\cdot 175=350$$

1. Aby ustawić prostopadłościany jeden na drugim i otrzymać jeden większy prostopadłościan, muszą się one stykać ścianami o takich samych wymiarach. Pierwszy prostopadłościan ma wymiary $5,6,10$, a drugi $6,6,10$ - wspólna para wymiarów to $6$ i $10$, więc oba prostopadłościany stoją na wspólnej podstawie $6\times 10$.
2. Brakujący wymiar (wysokość) pierwszego prostopadłościanu to $5$, a drugiego to $6$. Po ustawieniu jednego na drugim powstaje prostopadłościan o podstawie $6\times 10$ i wysokości:
   $$5+6=11$$
3. Obliczamy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $6$, $10$ i $11$:
   $$2(6\cdot 10+6\cdot 11+10\cdot 11)=2(60+66+110)=2\cdot 236=472$$

1. Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat — oznaczamy długość jego boku jako $a$. Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa $V=a^2\cdot H$ i obliczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& a^2=V:H\\ & a^2=567:7=81\\ & a=\sqrt{81}=9\text{cm}\end{array}$$
2. Obliczamy pole powierzchni całkowitej — sumę pól dwóch podstaw (kwadratów o boku $9$ cm) i pól czterech ścian bocznych (prostokątów $9\times 7$ cm):
   $$P_c=9\cdot 7\cdot 4+9^2\cdot 2=252+162=414{\text{cm}}^2$$

1. Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem $6a^2$. Obliczamy długość krawędzi.
   $$\begin{array}{rl}& 6a^2=12\\ & a^2=2\\ & a=\sqrt{2}\end{array}$$
2. Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$. Podstawiamy $a=\sqrt{2}$.

1. Oznaczmy promień podstawy walca przez $r$, a wysokość obu brył przez $h$. Promień podstawy stożka jest wtedy równy $2r$. Zapisujemy wzory na objętości obu brył.
   $$\begin{array}{rl}& V_{sto\dot{z}ka}=\frac{1}{3}\pi (2r{)}^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{2}h\\ & V_{walca}=\pi r^{2}h\end{array}$$
2. Obliczamy stosunek objętości stożka do objętości walca.
   $$\frac{V_{sto\dot{z}ka}}{V_{walca}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac{4}{3}$$