Zbiór zadań

Znaleziono 30 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Objętość pierwszego prostopadłościanu:
   $$V_1=5\cdot 6\cdot 10=300$$
2. Objętość drugiego prostopadłościanu:
   $$V_2=6\cdot 6\cdot 10=360$$
3. Różnica objętości:
   $$V_2-V_1=360-300=60$$
4. Zatem objętość pierwszego prostopadłościanu to $300$, a różnica objętości to $60$.

1. Siatka sześcianu składa się z $6$ przystających kwadratów (ścian). Aby dało się ją złożyć w sześcian, sąsiednie kwadraty muszą łączyć się dokładnie $5$ wspólnymi bokami. Każdy kwadrat ma $4$ boki, więc łączna liczba boków wszystkich kwadratów to $6\cdot 4=24$, ale $5$ z nich to boki wspólne, liczone przy tym podwójnie. Liczba boków tworzących obwód (brzeg) całej siatki wynosi więc:
   $$24-2\cdot 5=14$$
2. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Obwód siatki to $14$ takich boków, więc:
   $$14a=70⟹a=5$$
3. Pole powierzchni całkowitej sześcianu to suma pól jego $6$ ścian:
   $$P=6a^2=6\cdot 5^2=6\cdot 25=150$$

1. Aby ustawić prostopadłościany jeden na drugim i otrzymać jeden większy prostopadłościan, muszą się one stykać ścianami o takich samych wymiarach. Pierwszy prostopadłościan ma wymiary $5,6,10$, a drugi $6,6,10$ - wspólna para wymiarów to $6$ i $10$, więc oba prostopadłościany stoją na wspólnej podstawie $6\times 10$.
2. Brakujący wymiar (wysokość) pierwszego prostopadłościanu to $5$, a drugiego to $6$. Po ustawieniu jednego na drugim powstaje prostopadłościan o podstawie $6\times 10$ i wysokości:
   $$5+6=11$$
3. Obliczamy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $6$, $10$ i $11$:
   $$2(6\cdot 10+6\cdot 11+10\cdot 11)=2(60+66+110)=2\cdot 236=472$$

1. Trzy sześciany o krawędzi $5$ ustawione jeden na drugim tworzą prostopadłościan o podstawie $5\times 5$ i wysokości równej $3\cdot 5=15$.
2. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $a=5$, $b=5$, $c=15$ obliczamy ze wzoru:
   $$P=2(ab+ac+bc)=2\left(5\cdot 5+5\cdot 15+5\cdot 15\right)$$
3. Wykonujemy obliczenia:
   $$P=2(25+75+75)=2\cdot 175=350$$

1. Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat — oznaczamy długość jego boku jako $a$. Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa $V=a^2\cdot H$ i obliczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& a^2=V:H\\ & a^2=567:7=81\\ & a=\sqrt{81}=9\text{cm}\end{array}$$
2. Obliczamy pole powierzchni całkowitej — sumę pól dwóch podstaw (kwadratów o boku $9$ cm) i pól czterech ścian bocznych (prostokątów $9\times 7$ cm):
   $$P_c=9\cdot 7\cdot 4+9^2\cdot 2=252+162=414{\text{cm}}^2$$

1. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku $12$, a każda krawędź boczna też ma długość $12$ (ostrosłup jest prawidłowy, więc jego wierzchołek rzutuje się na środek podstawy).
2. Obliczamy przekątną podstawy i jej połowę (odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu):
   $$d=12\sqrt{2},\frac{d}{2}=6\sqrt{2}$$
3. Wysokość ostrosłupa $h$, połowa przekątnej i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
   $$h^2+{\left(6\sqrt{2}\right)}^2=12^2$$
4. Obliczamy $h$:
   $$h^2=144-72=72⟹h=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$

1. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Odcinki $AC$, $CH$ i $HA$ są przekątnymi ścian sześcianu, więc trójkąt $ACH$ jest równoboczny o boku:
   $$AC=CH=HA=a\sqrt{2}$$
2. Pole trójkąta równobocznego o boku $s$ wynosi $\frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $s=a\sqrt{2}$ i porównujemy z daną wartością pola:
3. Upraszczamy i wyznaczamy $a$:
   $$\frac{2a^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}⟹a^2=8⟹a=2\sqrt{2}$$