Zbiór zadań

Znaleziono 101 zadań. Losuj z tych filtrów

1. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$(3x{)}^2=15\cdot \frac{5}{3}$$
2. Obliczamy i pierwiastkujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 9x^2=25\\ & x^2=\frac{25}{9}\\ & x=\pm \frac{5}{3}\end{array}$$
3. Wszystkie wyrazy ciągu mają być dodatnie, więc $3x>0$, czyli $x=\frac{5}{3}$.

1. W ciągu arytmetycznym o różnicy $r$ zachodzi wzór $a_n=a_1+(n-1)r$, więc różnica dowolnych dwóch wyrazów zależy tylko od różnicy ich numerów:
   $$a_{24}-a_6=(24-6)\cdot r$$
2. Podstawiamy $r=2$:
   $$a_{24}-a_6=18\cdot 2=36$$

1. Szukamy wyrazów niedodatnich, czyli rozwiązujemy nierówność kwadratową:
   $$3n^2-25n\le 0$$
2. Wyłączamy $n$ przed nawias i wyznaczamy miejsca zerowe:
   $$n(3n-25)=0⟹n=0\text{ lub }n=\frac{25}{3}$$
3. Współczynnik przy $n^2$ jest dodatni ($3>0$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Szukane wyrażenie jest niedodatnie (leży pod osią lub na niej) między miejscami zerowymi:
   $$0\le n\le \frac{25}{3}$$
4. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, $n\ge 1$, a $\frac{25}{3}\approx 8,33$, warunek spełniają liczby:
   $$n\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$
5. Niedodatnich wyrazów ciągu jest zatem $8$.

1. Szukane liczby tworzą ciąg arytmetyczny $2,4,6,\dots ,1000$ o pierwszym wyrazie $a_1=2$ i różnicy $r=2$.
2. Liczbę wyrazów $n$ wyznaczamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$, podstawiając $a_n=1000$:
   $$\begin{array}{rl}1000& =2+(n-1)\cdot 2\\ 998& =(n-1)\cdot 2\\ n-1& =499\\ n& =500\end{array}$$
3. Sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$. Podstawiamy $a_1=2$, $a_n=1000$, $n=500$:

1. W ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich, więc:
   $$x^2=2\cdot 18=36$$
2. Stąd $x=6$ lub $x=-6$. Ciąg jest rosnący i zaczyna się od liczby dodatniej, więc $x$ musi być dodatnie:
   $$x=6$$

1. W ciągu arytmetycznym wyraz $a_4$ jest średnią arytmetyczną wyrazów $a_3$ i $a_5$, bo $a_3=a_4-r$ oraz $a_5=a_4+r$:
   $$a_3+a_5=(a_4-r)+(a_4+r)=2a_4$$
2. Podstawiamy dany warunek i obliczamy $a_4$:
   $$2a_4=58⟹a_4=29$$

1. Podstawiamy $n=1$ do warunku $a_n=3\cdot a_{n+1}+n^2$, aby wyznaczyć drugi wyraz ciągu:
   $$\begin{array}{rl}& a_1=3a_2+1^2\\ & 2=3a_2+1\\ & a_2=\frac{1}{3}\end{array}$$
2. Podstawiamy $n=2$, aby wyznaczyć trzeci wyraz ciągu:
   $$\begin{array}{rl}& a_2=3a_3+2^2\\ & \frac{1}{3}=3a_3+4\\ & a_3=-\frac{11}{9}\end{array}$$
3. Obliczamy szukaną sumę:
   $$a_1+a_2+a_3=2+\frac{1}{3}-\frac{11}{9}=\frac{10}{9}$$