Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 6

4 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

30°

i ma długość równą

6

(zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

V = 108

,

P_{c} = 108 + 723

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku: $S$ — wierzchołek ostrosłupa, $O$ — środek podstawy (punkt przecięcia przekątnych kwadratu), $E$ — środek krawędzi podstawy, $a$ — długość krawędzi podstawy, $H$ — wysokość ostrosłupa. Odcinek $S E$ to wysokość ściany bocznej, więc $∣ S E ∣ = 6$ , a kąt między $S E$ i podstawą to $∠ S E O = 30°$ .

Zadanie 27 Geometria przestrzenna

1 pkt

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby

W

wszystkich wierzchołków do liczby

K

wszystkich krawędzi jest równy

\frac{W}{K} = \frac{3}{5}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

Zadanie 27 Geometria przestrzenna

1 pkt

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy

12

. Wynika stąd, że w tym ostrosłupie stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy jest równy

Zadanie 29.1 Geometria przestrzenna

1 pkt

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą

6

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Zadanie 29.1 Geometria przestrzenna

1 pkt

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku

6

. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość

12

i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.

Objętość tego ostrosłupa jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29.2 Geometria przestrzenna

1 pkt

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą

6

.

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29.2 Geometria przestrzenna

1 pkt

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku

6

. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość

12

i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

Zadanie 30 Geometria przestrzenna

1 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny

A B C D E F A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}

, w którym krawędź podstawy ma długość

5

. Przekątna

A D^{'}

tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

45°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Zadanie 36 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego

A B C D E F

jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

,

∣ A B ∣ = 8

. Wysokość trójkąta

A B C

, poprowadzona z wierzchołka

C

, ma długość

3

. Przekątna

C E

ściany bocznej tworzy z krawędzią

C B

podstawy

A B C

kąt

60°

(zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość

a

. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze

α

takim, że

cos α = \frac{10}{10}

. Przez krawędź

B C

podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę

π

prostopadłą do ściany bocznej

S A D

.

Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę

π

i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

6 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

i polu powierzchni bocznej równym

P

. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka

S

ma miarę

2 α

.
Objętość tego ostrosłupa jest równa

k \cdot P^{3} \cdot sin α \cdot cos (2 α)

, gdzie

k

jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik

k

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego

A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

jest trapez równoramienny

A B C D

wpisany w okrąg o środku

O

i promieniu

R

. Dłuższa podstawa

A B

trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze

2 α

(zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze

α

.

Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia

R

i miary kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Geometria przestrzenna

1 pkt

Na rysunku przedstawiono prostokąt i dwa trójkąty równoramienne

T_{1}

i

T_{2}

oraz podano długości ich boków.

Czy te trzy wielokąty mogą być ścianami jednego ostrosłupa? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

	ponieważ		długości boków prostokąta są równe długościom podstaw trójkątów $T_{1}$ i $T_{2}$ .
			trójkąty $T_{1}$ i $T_{2}$ mają podstawy różnej długości.
			ramiona trójkąta $T_{1}$ mają inną długość niż ramiona trójkąta $T_{2}$ .

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Zadanie 13 Geometria przestrzenna

5 pkt

Dany jest graniastosłup prosty

A B C D E F G H

o podstawie prostokątnej

A B C D

. Przekątne

A H

i

A F

ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze

α

takiej, że

sin α = \frac{12}{13}

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

A F H

jest równe

26, 4

.

Oblicz wysokość

h

tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 19 Geometria przestrzenna

3 pkt

Na rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego oraz zapisano niektóre wymiary tej siatki.

Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki