Zbiór zadań

Znaleziono 97 zadań. Losuj z tych filtrów

1. 
   Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku $a=6$. Pole sześciokąta foremnego obliczamy ze wzoru:
   $$P_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$$
2. Podstawiamy $a=6$:
   $$P_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 36=54\sqrt{3}$$
3. Graniastosłup prawidłowy ma dwie takie podstawy oraz ściany boczne będące prostokątami. Wysokość graniastosłupa jest równa długości krawędzi bocznej, czyli $6$. Obliczamy pole powierzchni bocznej jako obwód podstawy razy wysokość:
   $$P_b=6a\cdot h=6\cdot 6\cdot 6=216$$
4. Pole powierzchni całkowitej to suma pola powierzchni bocznej i pól obu podstaw:
   $$P_c=216+2\cdot 54\sqrt{3}=216+108\sqrt{3}$$

1. 
   Najdłuższą przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki, którego rzutem na płaszczyznę podstawy jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego. Przechodzi ona przez środek podstawy i ma długość równą podwojonej długości boku:
   $$d=2a=2\cdot 6=12$$
2. Ta przekątna podstawy, wysokość graniastosłupa (równa krawędzi bocznej $h=6$) oraz szukana przekątna przestrzenna tworzą trójkąt prostokątny. Obliczamy długość przekątnej przestrzennej $e$:
   $$\begin{array}{rl}& e=\sqrt{d^2+h^2}\\ & e=\sqrt{12^2+6^2}\\ & e=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\end{array}$$
3. Kąt nachylenia przekątnej $e$ do płaszczyzny podstawy leży przy przekątnej podstawy $d$, więc jego cosinus to stosunek przyprostokątnej $d$ do przeciwprostokątnej $e$:
   $$\begin{array}{rl}& \cos \alpha =\frac{d}{e}\\ & \cos \alpha =\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{array}$$

1. Graniastosłup prawidłowy o podstawie $n$-kąta ma $n$ krawędzi podstawy dolnej, $n$ krawędzi podstawy górnej i $n$ krawędzi bocznych, czyli $3n$ krawędzi łącznie. Ma też $n$ ścian bocznych oraz $2$ podstawy, czyli $n+2$ ścian.
2. Zapisujemy równanie wynikające z podanego stosunku i rozwiązujemy je:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3n}{n+2}=\frac{7}{3}\\ & 9n=7(n+2)\\ & 9n=7n+14\\ & 2n=14\\ & n=7\end{array}$$
3. Podstawą graniastosłupa jest zatem siedmiokąt.

1. Obliczamy pole podstawy, czyli pole rombu o przekątnych $7$ cm i $10$ cm:
   $$P=\frac{7\cdot 10}{2}=35{\text{cm}}^2$$
2. Wysokość graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu (czyli $10$ cm) o $2$ cm:
   $$h=10-2=8\text{cm}$$
3. Obliczamy objętość graniastosłupa:
   $$V=P\cdot h=35\cdot 8=280{\text{cm}}^3$$

1. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $ABCD$ o boku $9$, a jego wysokością jest krawędź sześcianu (punkt $W$ leży dokładnie nad środkiem podstawy, na wysokości górnej ściany sześcianu), więc $h=9$. Obliczamy pole podstawy:
   $$P=9^2=81$$
2. Obliczamy objętość ostrosłupa:
   $$V=\frac{1}{3}\cdot P\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 81\cdot 9=243$$

1. Objętość sześcianu o krawędzi $a$ jest równa $V=a^3$. Sześcian $\mathcal{G}$ ma krawędź $3a$, więc jego objętość:
   $$V_{\mathcal{G}}=(3a{)}^3=27a^3=27V$$