Zbiór zadań

Znaleziono 22 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Aby ustawić prostopadłościany jeden na drugim i otrzymać jeden większy prostopadłościan, muszą się one stykać ścianami o takich samych wymiarach. Pierwszy prostopadłościan ma wymiary $5,6,10$, a drugi $6,6,10$ - wspólna para wymiarów to $6$ i $10$, więc oba prostopadłościany stoją na wspólnej podstawie $6\times 10$.
2. Brakujący wymiar (wysokość) pierwszego prostopadłościanu to $5$, a drugiego to $6$. Po ustawieniu jednego na drugim powstaje prostopadłościan o podstawie $6\times 10$ i wysokości:
   $$5+6=11$$
3. Obliczamy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $6$, $10$ i $11$:
   $$2(6\cdot 10+6\cdot 11+10\cdot 11)=2(60+66+110)=2\cdot 236=472$$

1. 
   
   Siatka sześcianu składa się z $6$ przystających kwadratów (ścian). Obwód tej siatki (zaznaczony na czerwono) to suma boków zewnętrznych, jest ich $14$.
2. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Obwód siatki to $14$ takich boków, więc:
   $$14a=70⟹a=5$$
3. Pole powierzchni całkowitej sześcianu to suma pól jego $6$ ścian:
   $$P=6a^2=6\cdot 5^2=6\cdot 25=150$$

1. Trzy sześciany o krawędzi $5$ ustawione jeden na drugim tworzą prostopadłościan o podstawie $5\times 5$ i wysokości równej $3\cdot 5=15$.
2. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $a=5$, $b=5$, $c=15$ obliczamy ze wzoru:
   $$P=2(ab+ac+bc)=2\left(5\cdot 5+5\cdot 15+5\cdot 15\right)$$
3. Wykonujemy obliczenia:
   $$P=2(25+75+75)=2\cdot 175=350$$

1. Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat — oznaczamy długość jego boku jako $a$. Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa $V=a^2\cdot H$ i obliczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& a^2=V:H\\ & a^2=567:7=81\\ & a=\sqrt{81}=9\text{cm}\end{array}$$
2. Obliczamy pole powierzchni całkowitej — sumę pól dwóch podstaw (kwadratów o boku $9$ cm) i pól czterech ścian bocznych (prostokątów $9\times 7$ cm):
   $$P_c=9\cdot 7\cdot 4+9^2\cdot 2=252+162=414{\text{cm}}^2$$

1. Sześcian ma $6$ przystających ścian kwadratowych. Jeśli $a$ oznacza długość krawędzi sześcianu, to pole powierzchni całkowitej wynosi $6a^2$. Wyznaczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& 6a^2=150\\ & a^2=25\\ & a=5\end{array}$$
2. Obliczamy objętość sześcianu o krawędzi $a=5$ cm:
   $$V=a^3=5^3=125$$
3. Objętość tego sześcianu jest równa $125$ cm${}^3$ (odpowiedź B).

1. Prostopadłościan ma trzy pary przystających ścian. Obliczamy pola trzech różnych ścian.
   $$\begin{array}{rl}& P_1=5\cdot 6=30\\ & P_2=6\cdot 7=42\\ & P_3=7\cdot 5=35\end{array}$$
2. Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich sześciu ścian - każda z trzech par występuje dwukrotnie.
   $$P_c=2(P_1+P_2+P_3)=2(30+42+35)=2\cdot 107=214$$

1. Sześcienna kostka ma objętość $1$ dm${}^3$, więc długość jej krawędzi $s$ spełnia $s^3=1$, czyli $s=1$ dm.
2. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $a$ - długość krawędzi pudełka, dla której $s=\frac{1}{3}a$
   • $b$ - długość krawędzi pudełka, dla której $s=\frac{1}{2}b$
   • $c$ - długość krawędzi pudełka, dla której $s=\frac{2}{5}c$
3. Wyznaczamy długości krawędzi pudełka:
   $$\begin{array}{rl}& a=3s=3\cdot 1=3\\ & b=2s=2\cdot 1=2\\ & c=\frac{5}{2}s=\frac{5}{2}\cdot 1=2,5\end{array}$$
4. Obliczamy objętość prostopadłościennego pudełka:
   $$V=a\cdot b\cdot c=3\cdot 2\cdot 2,5=15$$
5. Objętość tego pudełka jest równa $15$ dm${}^3$ (odpowiedź D).

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $a$ - długość krawędzi podstawy (kwadratu)
   • $h$ - długość krawędzi bocznej (wysokości graniastosłupa)

   Z treści zadania wiemy, że $a=7$, a krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.
   $$h=2\cdot 7=14$$
2. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to iloczyn pola podstawy (kwadratu o boku $a$) i wysokości $h$.
   $$V=a^2\cdot h$$
3. Podstawiamy dane wartości i obliczamy objętość.
   $$V=7^2\cdot 14=49\cdot 14=686$$

1. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery przystające ściany boczne. Skoro jedna ściana boczna ma pole $\frac{2}{9}P$, to pole powierzchni bocznej (suma wszystkich czterech ścian) jest równe:
   $$4\cdot \frac{2}{9}P=\frac{8}{9}P$$
2. Pole powierzchni bocznej jest równe $\frac{8}{9}P$ (odpowiedź B).
3. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej, więc pole podstawy obliczamy jako różnicę:
   $$P-\frac{8}{9}P=\frac{1}{9}P$$
4. Porównujemy pole podstawy $\frac{1}{9}P$ z polem jednej ściany bocznej $\frac{2}{9}P$:
   $$\frac{1}{9}P=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{9}P$$
5. Pole podstawy jest więc dwa razy mniejsze niż pole jednej ściany bocznej (odpowiedź C).

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $x$ - liczba klocków w kształcie sześcianu
   • $3x$ - liczba klocków w kształcie ostrosłupów trójkątnych

   Ostrosłup trójkątny ma $6$ krawędzi, a sześcian ma $12$ krawędzi. Zapisujemy równanie na łączną liczbę krawędzi wszystkich klocków i rozwiązujemy je:
   $$\begin{array}{rl}& 6\cdot 3x+12\cdot x=720\\ & 18x+12x=720\\ & 30x=720\\ & x=24\end{array}$$