Zbiór zadań

Znaleziono 16 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej nie może być zerem, a suma wszystkich cyfr to $3$, więc pierwsza cyfra to $1$, $2$ albo $3$. Rozważamy każdy z tych przypadków osobno.
2. Gdy pierwsza cyfra to $3$: pozostałe trzy cyfry muszą sumować się do $0$, więc jest to tylko liczba $3000$ — $1$ możliwość.
3. Gdy pierwsza cyfra to $2$: pozostałe trzy cyfry sumują się do $1$, czyli dokładnie jedna z nich to $1$, a pozostałe to $0$ — liczby $2100$, $2010$, $2001$, czyli $3$ możliwości.
4. Gdy pierwsza cyfra to $1$: pozostałe trzy cyfry sumują się do $2$ — możliwe trójki cyfr to $(2,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,2)$, $(1,1,0)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, czyli $6$ możliwości.
5. Łącznie liczba czterocyfrowych liczb spełniających warunek jest równa:
   $$1+3+6=10$$

1. Liczba czterocyfrowa ma postać $\overline{abcd}$, gdzie $a$ to cyfra tysięcy, a $d$ to cyfra jedności. Cyfra tysięcy nie może być $0$, a z warunku zadania $a=d$.
2. Ponieważ liczba ma być parzysta, cyfra jedności $d$ musi być parzysta. Skoro $a=d$ oraz $a\ne 0$, cyfra $a$ (a zarazem $d$) może być jedną z: $2,4,6,8$ — $4$ możliwości.
3. Cyfra setek $b$ i cyfra dziesiątek $c$ mogą być dowolne, od $0$ do $9$ — po $10$ możliwości każda.
4. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb wynosi:
   $$4\cdot 10\cdot 10=400$$

1. Cyfra setek nie może być $0$ (liczba musi być trzycyfrowa), więc mamy $6$ możliwości ($1$–$6$).
2. Cyfra dziesiątek może być dowolną z $7$ dostępnych cyfr ($0$–$6$).
3. Cyfra jedności musi być nieparzysta, więc może być tylko $1$, $3$ lub $5$ — $3$ możliwości.
4. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb jest równa:
   $$6\cdot 7\cdot 3$$

1. Liczba trzycyfrowa nieparzysta ma cyfrę jedności nieparzystą (ze zbioru $\{1,3,5,7,9\}$), więc na pewno różną od $0$. Cyfra setek też nie może być $0$, bo wtedy liczba miałaby mniej niż trzy cyfry. Zatem jedynym miejscem, gdzie może wystąpić cyfra $0$, jest cyfra dziesiątek.
2. Ponieważ szukamy liczb z dokładnie jednym zerem, cyfra dziesiątek musi być równa $0$.
3. Cyfrę setek wybieramy na $9$ sposobów (od $1$ do $9$), cyfrę dziesiątek na $1$ sposób (musi być $0$), a cyfrę jedności na $5$ sposobów (liczby nieparzyste). Z reguły mnożenia:
   $$9\cdot 1\cdot 5=45$$

1. Każdy kod to ustawienie w rzędzie czterech różnych cyfr - jest to permutacja czteroelementowego zbioru.
   $$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$

1. Ostrosłup $n$-kątny: $W=n+1$, $K=2n$. Warunek:
   $$\frac{n+1}{2n}=\frac{3}{5}⟹5n+5=6n⟹n=5$$

1. Pierwszą cyfrę (różną od $0$) wybieramy na $9$ sposobów. Drugą cyfrę (różną od pierwszej, ale dopuszczalne jest $0$) — także na $9$ sposobów, trzecią na $8$, a czwartą na $7$ sposobów:
   $$9\cdot 9\cdot 8\cdot 7$$