Zbiór zadań

Znaleziono 34 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny:
   $$k+2<0⟺k<-2$$
2. Poprawny przedział to $(-\infty ,-2)$, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Sprawdzamy drugie stwierdzenie: dla $k=4$ podstawiamy punkt $(0,1)$:
   $$f(0)=k-3=4-3=1$$
4. Wykres przechodzi przez punkt $(0,1)$, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. We wzorze $f(x)=3x-4$ współczynnik kierunkowy $a=3$ jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca.
2. Wyraz wolny $b=-4$ jest drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu z osią $Oy$, czyli wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$.

1. Z wykresu odczytujemy, że prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$, a oś $Ox$ w punkcie $(-2,0)$ — zgodnie z treścią zadania oba punkty mają współrzędne całkowite.
2. Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla $x=0$, czyli rzędna punktu przecięcia z osią $Oy$:
   $$b=-3<0$$
3. Współczynnik kierunkowy $a$ obliczamy na podstawie punktów $(-2,0)$ i $(0,-3)$:
   $$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}<0$$
4. Zatem $a<0$ oraz $b<0$.

1. Kąt $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $Ox$. Tangens tego kąta jest równy współczynnikowi kierunkowemu $a$ we wzorze funkcji liniowej.
2. Współczynnik $a$ obliczamy na podstawie punktów przecięcia prostej z osiami, $(-2,0)$ i $(0,-3)$:
   $$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}$$
3. Zatem tangens kąta $\alpha$ jest równy:
   $$\tan \alpha =-\frac{3}{2}$$

1. funkcja jest malejąca, więc współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny — pierwsze zdanie jest fałszywe.
2. Wykres przecina oś $Oy$ poniżej zera (w punkcie $(0,-3)$), więc wyraz wolny $b$ jest ujemny — drugie zdanie jest fałszywe.

1. Wykres przechodzi przez punkty $(-2,0)$ oraz $(0,-3)$, więc współczynnik kierunkowy (równy tangensowi kąta nachylenia do osi $Ox$) jest równy:
   $$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}$$

1. Funkcja liniowa ma wzór $g(x)=ax+b$. Dla argumentu $0$ funkcja przyjmuje wartość $-\frac{3}{2}$, więc wyraz wolny $b$ jest równy tej wartości.
   $$b=-\frac{3}{2}$$
2. Miejscem zerowym jest $(-3)$, czyli $g(-3)=0$. Podstawiamy i wyznaczamy współczynnik $a$.
   $$\begin{array}{rl}& -3a-\frac{3}{2}=0\\ & -3a=\frac{3}{2}\\ & a=-\frac{1}{2}\end{array}$$
3. Funkcja $g$ jest więc określona wzorem $g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$.

1. Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f$, czyli argument $x_0$, dla którego $f(x_0)=0$:
   $$\frac{1}{2}{x}_0-k=0⟹x_0=2k$$
2. Z warunku zadania miejsce zerowe jest większe od $2$:
   $$2k>2⟹k>1$$
3. Zatem liczba $k$ należy do przedziału $(1,+\infty )$.

1. Przesunięcie wykresu o $1$ jednostkę w prawo wzdłuż osi $Ox$ polega na zastąpieniu $x$ przez $x-1$ we wzorze funkcji:
   $$g(x)=f(x-1)=5(x-1)$$
2. Upraszczamy:
   $$g(x)=5x-5$$

1. Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją stałą, czyli gdy jej współczynnik kierunkowy jest równy zero:
   $$3-m=0⟹m=3$$

1. Funkcja liniowa ma postać $g(x)=ax+b$. Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:
   $$b=-\frac{3}{2}$$
2. Miejsce zerowe to $x=-3$, czyli $g(-3)=0$. Podstawiamy i wyznaczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& -3a-\frac{3}{2}=0\\ & -3a=\frac{3}{2}\\ & a=-\frac{1}{2}\end{array}$$
3. Zatem wzór funkcji to:
   $$g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$$

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe.
   $$3-m=m+3$$
2. Rozwiązujemy równanie względem $m$.
   $$\begin{array}{rl}& 3-m=m+3\\ & -2m=0\\ & m=0\end{array}$$

1. Z wykresu odczytujemy, że przy zużyciu $10$ litrów farby pomalowano powierzchnię $100{\text{m}}^2$, a przy $20$ litrach – $200{\text{m}}^2$. Współczynnik proporcjonalności wynosi więc $k=10$.
2. Sprawdzamy pierwsze zdanie: obliczamy powierzchnię pomalowaną $18$ litrami farby.
   $$18\cdot 10=180$$
3. Otrzymany wynik zgadza się z podanym w zdaniu ($180{\text{m}}^2$), więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie: obliczamy, ile litrów farby potrzeba na pomalowanie $125{\text{m}}^2$ powierzchni.
   $$125:10=12,5$$
5. Potrzeba $12,5$ litra farby, a nie $12$ litrów, więc drugie zdanie jest fałszywe (F).

1. Prosta, która jest wykresem funkcji $f$, przechodzi przez punkty $(2,0)$ i $(0,4)$. Obliczamy jej współczynnik kierunkowy:
   $$a=\frac{4-0}{0-2}=-2$$
2. Zatem pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P) — współczynnik kierunkowy prostej jest równy $(-2)$.
3. Trójkąt ograniczony osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji $f$ ma wierzchołki $(0,0)$, $(2,0)$ i $(0,4)$. Jego przyprostokątne mają długości $2$ i $4$, więc jego pole jest równe:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$$
4. Ponieważ $4\ne 8$, drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).