Zbiór zadań

Znaleziono 90 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Prosta $l$ jest równoległa do $k$, więc ma taki sam współczynnik kierunkowy $a=-\frac{1}{3}$. Zapisujemy jej wzór jako $y=-\frac{1}{3}x+b$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(2,-2)$:
   $$\begin{array}{rl}-2& =-\frac{1}{3}\cdot 2+b\\ -2& =-\frac{2}{3}+b\\ b& =-2+\frac{2}{3}\\ b& =-\frac{4}{3}\end{array}$$
3. Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie:
   $$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$$

1. W równoległoboku przekątne dzielą się na połowy, więc środek przekątnej $AC$ jest taki sam jak środek przekątnej $BD$. Wyznaczamy środek $AC$.
   $$S=\left(\frac{-3+4}{2},\frac{-2+2}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},0\right)$$
2. Współrzędne punktu $B=(x,y)$ muszą dawać ten sam środek co punkt $D$, więc układamy równania.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{x+(-1)}{2}=\frac{1}{2}\\ & \frac{y+2}{2}=0\end{array}$$
3. Rozwiązujemy równania i otrzymujemy współrzędne wierzchołka $B$.
   $$\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=-2\end{array}$$
4. Zatem wierzchołek $B$ ma współrzędne $(2,-2)$.

1. Punkt $L$ leży w odległości $2$ działek od punktu $K$, a jego współrzędna to $5$. Jedna działka na pierwszej osi ma więc długość $\frac{5}{2}$. Obliczamy współrzędną $x$ punktu $M$, który jest oddalony od $K$ o $9$ działek.
   $$x=\frac{5}{2}\cdot 9=22,5$$
2. Punkt $S$ leży w odległości $9$ działek od punktu $P$, a jego współrzędna to $18$. Jedna działka na drugiej osi ma więc długość $\frac{18}{9}$. Obliczamy współrzędną $y$ punktu $R$, który jest oddalony od $P$ o $3$ działki.
3. Obliczamy iloczyn liczb $x$ i $y$.
   $$x\cdot y=22,5\cdot 6=135$$

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta $l$ też ma współczynnik kierunkowy równy $5$. Ponieważ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$, jej równanie ma postać:
   $$l:y=5x-4$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(p,2)$ do równania prostej $l$:
   $$2=5p-4$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie:
   $$5p=6⟹p=\frac{6}{5}$$

1. Punkt $S$ to środek przekątnej $AC$ (przecięcie przekątnych kwadratu), więc odległość $|AS|$ to połowa długości przekątnej. Obliczamy tę odległość:
   $$|AS|=\sqrt{(4-1{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
2. Przekątna kwadratu jest dwa razy dłuższa od $|AS|$:
   $$|AC|=2\cdot 5=10$$

1. Proste są równoległe wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
   $$m-2=-4$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$m=-4+2=-2$$

1. Z równania okręgu $\mathcal{O}$ odczytujemy jego środek i promień:
   $$S=(-1,2),r=3$$
2. W symetrii osiowej względem osi $Oy$ punkt o współrzędnych $(x,y)$ przechodzi na punkt $(-x,y)$, więc środek okręgu przechodzi na punkt:
   $$S^{\prime }=(1,2)$$
3. Promień się nie zmienia, więc okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem:
   $$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9$$

1. Promień okręgu jest równy odległości między środkiem $S$ a punktem $P$ leżącym na okręgu. Obliczamy kwadrat promienia:
   $$r^2=(0-2{)}^2+(0-4{)}^2=4+16=20$$
2. Podstawiamy środek $S=(2,4)$ i wyznaczony promień do równania okręgu:
   $$(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=20$$

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
   $$3-m=m+3$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 3-m=m+3\\ & -2m=0\\ & m=0\end{array}$$
3. Sprawdzamy, że dla $m=0$ proste mają różne wyrazy wolne ($5\ne -4$), więc rzeczywiście są dwiema różnymi równoległymi prostymi, a nie tą samą prostą.