Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 2

5 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są okręgi

O_{1}

oraz

O_{2}

o równaniach:

•

O_{1} : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5

•

O_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45

Te okręgi przecinają się w punktach

A

oraz

B

. Punkt

A

ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt

M

spełnia warunek

A M = - 2 \cdot B M

.

Oblicz współrzędne punktów

A

,

B

oraz

M

. Zapisz obliczenia.

A = (\frac{16}{5}, - \frac{13}{5})

,

B = (- 1, - 2)

,

M = (\frac{2}{5}, - \frac{11}{5})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Poglądowo, okręgi $O_{1}$ i $O_{2}$ przecinają się w dwóch punktach $A$ i $B$ :

Zadanie 11 Geometria analityczna

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dane są okręgi

O_{1}

oraz

O_{2}

o równaniach:

$O_{1} : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$
$O_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45$ .

Te okręgi przecinają się w punktach

A

oraz

B

. Punkt

A

ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt

M

spełnia warunek

A M = - 2 \cdot B M

.
Oblicz współrzędne punktów

A

,

B

oraz

M

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest równoległobok

A B C D

o wierzchołkach

A = (- 8, - 1)

i

D = (- 13, 9)

oraz środku symetrii

M = (- \frac{9}{2}, 1)

.

Okrąg

O

przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki

A B

i

B C

tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu

O

jest liczbą ujemną.

Wyznacz równanie okręgu

O

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Geometria analityczna

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono kolejne wierzchołki

A

i

B

pewnego czworokąta

A B C D

. Punkty

A

i

B

są punktami kratowymi. Pozostałe wierzchołki czworokąta mają współrzędne

C = (3, y_{C})

oraz

D = (- 1, y_{D})

, gdzie

y_{C}

jest liczbą całkowitą dodatnią oraz

y_{C} = y_{D}

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem.
Dla $y_{C} = y_{D} = 3$ czworokąt $A B C D$ jest rombem.

Zadanie 14 Geometria analityczna

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami równoległoboku

A B C D

:

A = (- 3, - 2)

,

C = (4, 2)

,

D = (- 1, 2)

(zobacz rysunek).

Współrzędna

x

wierzchołka

B

, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Niezaznaczony na rysunku wierzchołek

B

tego równoległoboku ma współrzędne

Zadanie 19 Geometria analityczna

2 pkt

Dane są dwie osie liczbowe (zobacz rysunek). Na pierwszej z nich zaznaczono punkty

K

,

L

,

M

oraz podano współrzędne punktów

K

i

L

. Odcinek

K M

jest podzielony na

9

równych części.
Na drugiej osi liczbowej zaznaczono punkty

P

,

R

,

S

oraz podano współrzędne punktów

P

i

S

. Odcinek

P S

jest podzielony na

9

równych części.

Oblicz iloczyn

x \cdot y

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 21 Geometria analityczna

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = x - 4

.

Prosta

l

jest obrazem prostej

k

w symetrii osiowej względem osi

O y

układu współrzędnych.

Prosta

l

jest określona równaniem

Zadanie 22 Geometria analityczna

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = 5 x + 7

. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przecina oś

O y

w punkcie

(0, - 4)

. Punkt o współrzędnych

(p, 2)

należy do prostej

l

.

Oblicz

p

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 22 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest kwadrat

A B C D

, w którym

A = (4, - 1)

. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie

S = (1, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przekątna kwadratu

A B C D

ma długość

Zadanie 23 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (m - 2) x + 5

l : y = - 4 x + (m + 3)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Zadanie 23 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

O : (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9

Okrąg

K

jest obrazem okręgu

O

w symetrii osiowej względem osi

O y

układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

K

jest określony równaniem

Zadanie 24 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (3 - m) x + 5

l : y = (m + 3) x - 4

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 24 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

P = (0, 0)

leży na okręgu

O

o środku w punkcie

S = (2, 4)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

O

jest określony równaniem

Zadanie 25 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

O : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 4

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Okrąg $O$ nie ma punktów wspólnych z osią $O x$ układu współrzędnych.
Okrąg $O$ ma z osią $O y$ układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.

Zadanie 34 Geometria analityczna

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, 1)

oraz

C = (6, 4)

są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

. Prosta

k

o równaniu

y = a x + b

przechodzi przez wierzchołki

B

oraz

D

tego kwadratu.

Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki

a

oraz

b

w równaniu prostej

k

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki