Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 2

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

f (x) = - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} + 6

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej, wykorzystując współrzędne wierzchołka $(3, 6)$ :
$f (x) = a (x - 3)^{2} + 6, a \neq = 0$

Zadanie 12.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zadanie 12.3 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g (x) = f (x) - 3

. Liczby

x_{1}

oraz

x_{2}

są różnymi miejscami zerowymi funkcji

g

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma

x_{1} + x_{2}

jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Funkcja kwadratowa

3 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji kwadratowej

f

przechodzi przez punkt

(2, 15)

. Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu

x = - 1

. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

1

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest określona wzorem

Zadanie 14.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.
Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.

Zadanie 14.3 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g (x) = f (x - 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

g

jest prosta o równaniu

Zadanie 31 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk

Z

ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

Z (x) = (500 + 50 x) (16 - x)

gdzie:

x

– kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki

x \geq 1

i

x \leq 14

,

Z

– roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Roczny zysk

Z

ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla

x

równego

Zadanie 31 Funkcja kwadratowa

4 pkt

Rozważamy wszystkie prostopadłościany

A B C D E F G H

, w których krawędź

B C

ma długość

4

oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka

B

jest równa

15

(zobacz rysunek).

Niech

P (x)

oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości

x

krawędzi

A B

.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji

P

. Oblicz długość

x

krawędzi

A B

tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Hotel ma do dyspozycji gości

80

pokoi jednoosobowych.
Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:
• przy wyjściowej cenie wynoszącej

120

zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o

5

zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o

1

.
Przyjmijmy, że dobowy przychód

P

hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o

5 x

złotych, opisuje funkcja

P (x) = (80 - x) (120 + 5 x)

gdzie

x

jest liczbą całkowitą spełniającą warunki

x \geq 0

i

x \leq 80

.

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Funkcja kwadratowa

4 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

.
Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

(- \infty, 6 ⟩

. Parabola, która jest wykresem funkcji

f

, przechodzi przez punkty

A = (- 1, 3)

i

B = (5, 3)

.

Oblicz wartość współczynnika

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Funkcja kwadratowa

4 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji kwadratowej

f

przechodzi przez punkt

(2, 15)

. Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu

x = - 1

. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

1

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Zadanie 12.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0, - 9)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest malejąca w przedziale

Zadanie 12.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zbiór zadań

Wyniki