Zbiór zadań

Znaleziono 75 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Oś symetrii paraboli o wzorze $f(x)=a{x}^2+bx+c$ wyraża się wzorem $x=-\frac{b}{2a}$. Tutaj $a=\frac{1}{2}$, a oś symetrii to $x=1$, więc:
   $$-\frac{b}{2\cdot \frac{1}{2}}=1$$
2. Rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& -b=1\\ & b=-1\end{array}$$

1. Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między jej miejscami zerowymi. Skoro jedno miejsce zerowe to $6$, a oś symetrii to $x=1$, drugie miejsce zerowe $x_2$ wyznaczamy z warunku:
   $$\frac{6+x_2}{2}=1$$
2. Rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& 6+x_2=2\\ & x_2=-4\end{array}$$
3. Funkcję kwadratową o współczynniku $a=\frac{1}{2}$ i miejscach zerowych $-4$ oraz $6$ zapisujemy w postaci iloczynowej.
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$$

1. Wzór $g(x)=f(x-3)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $x$. Oś symetrii przesuwa się o tyle samo.
2. Oś symetrii wykresu funkcji $f$ to $x=1$, więc oś symetrii wykresu funkcji $g$ to:
   $$x=1+3=4$$

1. Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej, wykorzystując współrzędne wierzchołka $(3,6)$:
   $$f(x)=a(x-3{)}^2+6,a\ne 0$$
2. Parabola przechodzi przez punkt $(0,3)$, więc $f(0)=3$:
   $$a(0-3{)}^2+6=3$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 9a+6=3\\ & 9a=-3\\ & a=-\frac{1}{3}\end{array}$$
4. Zatem wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej to:
   $$f(x)=-\frac{1}{3}(x-3{)}^2+6$$

1. Oś symetrii paraboli to prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek. Wierzchołek ma współrzędne $(3,6)$, więc osią symetrii jest prosta:
   $$x=3$$

1. Miejsca zerowe funkcji $g$ to argumenty, dla których $g(x)=0$, czyli $f(x)=3$:
   $$g(x)=0⟺f(x)=3$$
2. Z treści zadania wiemy, że $f(0)=3$ (parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,3)$), więc $x=0$ jest jednym z miejsc zerowych funkcji $g$. Drugie miejsce zerowe jest symetryczne do $x=0$ względem osi symetrii $x=3$:
3. Zatem $x_1=0$, $x_2=6$, a ich suma:
   $$x_1+x_2=0+6=6$$

1. Wykres paraboli jest symetryczny względem prostej $x=1$, więc drugie miejsce zerowe leży w takiej samej odległości od osi symetrii jak $x=6$, po drugiej stronie:
   $$x_2=2\cdot 1-6=-4$$
2. Znamy postać iloczynową funkcji kwadratowej z miejscami zerowymi $6$ i $-4$ oraz współczynnikiem $\frac{1}{2}$ przy $x^2$:
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x-6)(x-(-4))=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$$

1. Wiemy, że $f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$. Rozwijamy nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (x+4)(x-6)=x^2-2x-24\\ & f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-x-12\end{array}$$
2. Odczytujemy współczynniki: $b=-1$, $c=-12$. Oba są liczbami ujemnymi, więc oba stwierdzenia są fałszywe.

1. Podstawienie $x-3$ w miejsce $x$ przesuwa wykres funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo, więc oś symetrii też przesuwa się o $3$ w prawo:
   $$x=1+3=4$$

1. Zapisujemy wzór funkcji $\mathcal{Z}$ w postaci ogólnej, mnożąc nawiasy:
   $$\mathcal{Z}(x)=(500+50x)(16-x)=8000-500x+800x-50x^2=-50x^2+300x+8000$$
2. To funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy $x^2$, więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół — największą wartość przyjmuje w wierzchołku, dla $x=-\frac{b}{2a}$:
   $$x=-\frac{300}{2\cdot (-50)}=\frac{300}{100}=3$$
3. Liczba $x=3$ spełnia warunki $x\ge 1$ i $x\le 14$, więc roczny zysk jest największy dla $x=3$.