Zbiór zadań

Znaleziono 21 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Liczba czterocyfrowa ma postać $\overline{abcd}$, gdzie $a$ to cyfra tysięcy, a $d$ to cyfra jedności. Cyfra tysięcy nie może być $0$, a z warunku zadania $a=d$.
2. Ponieważ liczba ma być parzysta, cyfra jedności $d$ musi być parzysta. Skoro $a=d$ oraz $a\ne 0$, cyfra $a$ (a zarazem $d$) może być jedną z: $2,4,6,8$ — $4$ możliwości.
3. Cyfra setek $b$ i cyfra dziesiątek $c$ mogą być dowolne, od $0$ do $9$ — po $10$ możliwości każda.
4. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb wynosi:
   $$4\cdot 10\cdot 10=400$$

1. Cyfra setek nie może być $0$ (liczba musi być trzycyfrowa), więc mamy $6$ możliwości ($1$–$6$).
2. Cyfra dziesiątek może być dowolną z $7$ dostępnych cyfr ($0$–$6$).
3. Cyfra jedności musi być nieparzysta, więc może być tylko $1$, $3$, $5$, więc $3$ możliwości.
4. Korzystając z reguły mnożenia wszystkich takich liczb jest:
   $$6\cdot 7\cdot 3$$

1. Cyfry nieparzyste to $1,3,5,7,9$. Liczba jest trzycyfrowa i większa od $500$, więc cyfra setek musi być nieparzysta oraz nie mniejsza niż $5$ — pasują tylko $5$, $7$ i $9$, czyli $3$ możliwości.
2. Cyfra dziesiątek i cyfra jedności mogą być dowolną z $5$ cyfr nieparzystych, niezależnie od cyfry setek.
3. Korzystamy z reguły mnożenia, żeby policzyć wszystkie takie liczby.
   $$3\cdot 5\cdot 5=75$$

1. Liczba trzycyfrowa nieparzysta ma cyfrę jedności nieparzystą (ze zbioru $\{1,3,5,7,9\}$), więc na pewno różną od $0$. Cyfra setek też nie może być $0$, bo wtedy liczba miałaby mniej niż trzy cyfry. Zatem jedynym miejscem, gdzie może wystąpić cyfra $0$, jest cyfra dziesiątek.
2. Ponieważ szukamy liczb z dokładnie jednym zerem, cyfra dziesiątek musi być równa $0$.
3. Cyfrę setek wybieramy na $9$ sposobów (od $1$ do $9$), cyfrę dziesiątek na $1$ sposób (musi być $0$), a cyfrę jedności na $5$ sposobów (liczby nieparzyste). Z reguły mnożenia:
   $$9\cdot 1\cdot 5=45$$

1. Cyfry nieparzyste to $1,3,5,7,9$. Aby liczba trzycyfrowa o wszystkich cyfrach nieparzystych była większa od $500$, cyfra setek musi być nieparzysta i nie mniejsza niż $5$, czyli musi należeć do zbioru $\{5,7,9\}$ — daje to $3$ możliwości.
2. Cyfra dziesiątek i cyfra jedności mogą być dowolną z pięciu cyfr nieparzystych, więc mamy po $5$ możliwości dla każdej z nich. Korzystamy z reguły mnożenia:
   $$3\cdot 5\cdot 5=75$$

1. Liczba jest pięciocyfrowa, więc cyfra na pierwszym miejscu (dziesiątek tysięcy) nie może być $0$. Spośród cyfr $0,1,2,3$ zostają $3$ możliwości: $1$, $2$, $3$.
2. Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności musi być nieparzysta. Spośród cyfr $0,1,2,3$ nieparzyste są $1$ i $3$ — $2$ możliwości.
3. Pozostałe trzy cyfry (dziesiątek, setek, tysięcy) mogą być dowolne spośród $0,1,2,3$ — po $4$ możliwości na każdym miejscu.
4. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb jest równa:
   $$3\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 2=384$$

1. Każdy kod to ustawienie w rzędzie czterech różnych cyfr - jest to permutacja czteroelementowego zbioru.
   $$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$

1. Niech cyfra jedności będzie równa $j$, a cyfra dziesiątek $d=j+3$. Cyfra dziesiątek musi być mniejsza lub równa $9$, więc $j+3\le 9$, czyli $j\le 6$.
2. Cyfra jedności $j$ może więc przyjąć wartości $0,1,2,3,4,5,6$ — to $7$ możliwości, a każdej odpowiada dokładnie jedna liczba dwucyfrowa ($30,41,52,63,74,85,96$).

1. Liczba jest parzysta, więc jej ostatnia cyfra musi być parzysta. Spośród cyfr $2$, $4$, $7$ parzyste są tylko $2$ i $4$ — na ostatnią cyfrę mamy więc $2$ możliwości.
2. Na każdą z pozostałych trzech cyfr (tysięcy, setek, dziesiątek) możemy wstawić dowolną z trzech cyfr $2$, $4$, $7$ — po $3$ możliwości na każdą pozycję.
3. Ze reguły mnożenia obliczamy liczbę wszystkich takich liczb:
   $$3\cdot 3\cdot 3\cdot 2=54$$

1. Liczba jest pięciocyfrowa, więc pierwsza cyfra nie może być $0$ — może być $5$ albo $7$, czyli mamy $2$ możliwości na pierwszym miejscu.
2. Na każdym z pozostałych czterech miejsc może stać dowolna z trzech cyfr: $0$, $5$ lub $7$, czyli $3$ możliwości na każdym z $4$ miejsc.
3. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb pięciocyfrowych jest równa:
   $$2\cdot 3^4$$

1. Na pierwszym miejscu liczby czterocyfrowej nie może stać $0$, więc mamy do wyboru $9$ cyfr (od $1$ do $9$).
2. Na drugim miejscu może stanąć dowolna cyfra różna od już użytej (w tym $0$), więc zostaje $9$ możliwości.
3. Na trzecim miejscu zostają $8$ niewykorzystanych jeszcze cyfr, a na czwartym miejscu $7$ cyfr.
4. Liczbę wszystkich takich liczb obliczamy, mnożąc liczby możliwości na kolejnych pozycjach:
   $$9\cdot 9\cdot 8\cdot 7$$