Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek).
Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki:
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek).
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Współczynnik a we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią.
P
F
Współczynnik b we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią.
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek).
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=5x. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej g.
Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) ma współrzędne (0,4) (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji f, jest równy (−2).
P
F
Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) oraz wykresem funkcji f jest równe 8.
Pusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg.
Niech x oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie x∈[0,10].
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Funkcja f jest malejąca.
P
F
Funkcja f nie ma miejsc zerowych.
P
F
1.
2.
Poprawna odpowiedź
Zatem wykres przecina oś Oy w punkcie (0,−4), a nie (0,4) — stwierdzenie jest fałszywe (F).
FP
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny:
k+2<0⟺k<−2
Poprawny przedział to (−∞,−2), więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Sprawdzamy drugie stwierdzenie: dla k=4 podstawiamy punkt (0,1):
f(0)=k−3=4−3=1
Wykres przechodzi przez punkt (0,1), więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).
B. Funkcja f jest rosnąca i w układzie współrzędnych (x,y) jej wykres przecina oś Oy w punkcie (0,−4).
C. Funkcja f jest malejąca i w układzie współrzędnych (x,y) jej wykres przecina oś Oy w punkcie (0,4).
D. Funkcja f jest rosnąca i w układzie współrzędnych (x,y) jej wykres przecina oś Oy w punkcie (0,4).
B. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie (0,−4)
We wzorze f(x)=3x−4 współczynnik kierunkowy a=3 jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca.
Wyraz wolny b=−4 jest drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu z osią Oy, czyli wykres przecina oś Oy w punkcie (0,−4).
A.a>0 oraz b>0.
B.a>0 oraz b<0.
C.a<0 oraz b>0.
D.a<0 oraz b<0.
D. a<0 oraz b<0
Z wykresu odczytujemy, że prosta przecina oś Oy w punkcie (0,−3), a oś Ox w punkcie (−2,0) — zgodnie z treścią zadania oba punkty mają współrzędne całkowite.
Wyraz wolny b to wartość funkcji dla x=0, czyli rzędna punktu przecięcia z osią Oy:
b=−3<0
Współczynnik kierunkowy a obliczamy na podstawie punktów (−2,0) i (0,−3):
a=0−(−2)−3−0=−23<0
Zatem a<0 oraz b<0.
A.(−23)
B.(−32)
C.32
D.23
A. −23
Kąt α to kąt nachylenia prostej do osi Ox. Tangens tego kąta jest równy współczynnikowi kierunkowemu a we wzorze funkcji liniowej.
Współczynnik a obliczamy na podstawie punktów przecięcia prostej z osiami, (−2,0) i (0,−3):
a=0−(−2)−3−0=−23
Zatem tangens kąta α jest równy:
tanα=−23
FF
funkcja jest malejąca, więc współczynnik kierunkowy a jest ujemny — pierwsze zdanie jest fałszywe.
Wykres przecina oś Oy poniżej zera (w punkcie (0,−3)), więc wyraz wolny b jest ujemny — drugie zdanie jest fałszywe.
A.(−23)
B.(−32)
C.32
D.23
A. (−23)
Wykres przechodzi przez punkty (−2,0) oraz (0,−3), więc współczynnik kierunkowy (równy tangensowi kąta nachylenia do osi Ox) jest równy:
a=0−(−2)−3−0=−23
A.g(x)=−21x−23
B.g(x)=−21x+23
C.g(x)=21x−23
D.g(x)=21x+23
A. g(x)=−21x−23
Funkcja liniowa ma wzór g(x)=ax+b. Dla argumentu 0 funkcja przyjmuje wartość −23, więc wyraz wolny b jest równy tej wartości.
b=−23
Miejscem zerowym jest (−3), czyli g(−3)=0. Podstawiamy i wyznaczamy współczynnik a.
−3a−23=0−3a=23a=−21
Funkcja g jest więc określona wzorem g(x)=−21x−23.
A.(−∞,−1)
B.(−1,0)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
D. (1,+∞)
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji f, czyli argument x0, dla którego f(x0)=0:
21x0−k=0⟹x0=2k
Z warunku zadania miejsce zerowe jest większe od 2:
2k>2⟹k>1
Zatem liczba k należy do przedziału (1,+∞).
A.g(x)=5x−5
B.g(x)=5x−1
C.g(x)=5x+1
D.g(x)=5x+5
A. g(x)=5x−5
Przesunięcie wykresu o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox polega na zastąpieniu x przez x−1 we wzorze funkcji:
g(x)=f(x−1)=5(x−1)
Upraszczamy:
g(x)=5x−5
A.g(x)=−21x−23
B.g(x)=−21x+23
C.g(x)=21x−23
D.g(x)=21x+23
A. g(x)=−21x−23
Funkcja liniowa ma postać g(x)=ax+b. Wyraz wolny b to wartość funkcji dla argumentu 0:
b=−23
Miejsce zerowe to x=−3, czyli g(−3)=0. Podstawiamy i wyznaczamy a:
−3a−23=0−3a=23a=−21
Zatem wzór funkcji to:
g(x)=−21x−23
A.(−3)
B.0
C.3
D.4
C. m=3
Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją stałą, czyli gdy jej współczynnik kierunkowy jest równy zero:
3−m=0⟹m=3
A.(−3)
B.0
C.10
D.3
B. 0
Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe.
3−m=m+3
Rozwiązujemy równanie względem m.
3−m=m+3−2m=0m=0
PF
Prosta, która jest wykresem funkcji f, przechodzi przez punkty (2,0) i (0,4). Obliczamy jej współczynnik kierunkowy:
a=0−24−0=−2
Zatem pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P) — współczynnik kierunkowy prostej jest równy (−2).
Trójkąt ograniczony osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji f ma wierzchołki (0,0), (2,0) i (0,4). Jego przyprostokątne mają długości 2 i 4, więc jego pole jest równe:
P=21⋅2⋅4=4
Ponieważ 4=8, drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).
FP
Masa bańki z mlekiem rośnie wraz z liczbą litrów mleka x (im więcej mleka, tym większa masa), więc funkcja f jest rosnąca, a nie malejąca — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Funkcja f opisuje masę, która dla x∈[0,10] zawsze wynosi co najmniej 6,5 kg — nigdy nie jest równa zero, więc funkcja rzeczywiście nie ma miejsc zerowych — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).