Zbiór zadań

Znaleziono 14 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Oznaczmy cenę jednej ładowarki przez $x$. Dysk USB jest $2$ razy tańszy od ładowarki, więc jego cena to $\frac{x}{2}$, a komplet słuchawek jest $4$ razy droższy od ładowarki, więc jego cena to $4x$.
2. Aleks kupił jeden komplet słuchawek, dwie ładowarki i dwa dyski USB — zapisujemy sumę kosztów:
   $$4x+2x+2\cdot \frac{x}{2}$$
3. Upraszczamy wyrażenie, redukując wyrazy podobne:
   $$4x+2x+x=7x$$

1. Zapisujemy sumę trzech kolejnych liczb naturalnych i upraszczamy wyrażenie:
   $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$$
2. Wyłączamy $3$ przed nawias:
   $$3n+3=3(n+1)$$
3. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to $(n+1)$ też jest liczbą naturalną, więc suma $3(n+1)$ jest zawsze podzielna przez $3$ (odpowiedź B).

1. Podstawiamy $n=100$ do wzoru na sumę:
   $$S=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 101=5050$$
2. To odpowiada literze B. Teraz przekształcamy wzór, mnożąc wyrażenie w nawiasie przez $\frac{1}{2}n$:
   $$S=\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$$
3. To odpowiada literze D. Prawidłowe odpowiedzi to B oraz D.

1. Zamieniamy liczby na ułamki o wspólnym mianowniku.
   $$2,4=\frac{12}{5}=\frac{36}{15},5\frac{1}{3}=\frac{16}{3}=\frac{80}{15}$$
2. Obliczamy różnicę w nawiasie.
   $$\frac{36}{15}-\frac{80}{15}=-\frac{44}{15}$$
3. Dzielimy otrzymany wynik przez $-2$.
   $$-\frac{44}{15}:(-2)=\frac{44}{15}\cdot \frac{1}{2}=\frac{44}{30}=\frac{22}{15}=1\frac{7}{15}$$
4. Wartość wyrażenia jest równa $1\frac{7}{15}$ (odpowiedź C).

1. Wprowadzamy oznaczenia liczby piłek poszczególnych kolorów:
   

   • $x$ - liczba piłek fioletowych
   • $4x$ - liczba piłek białych (cztery razy więcej niż fioletowych)
   • $4x+3$ - liczba piłek czarnych (białych jest o $3$ mniej niż czarnych, czyli czarnych jest o $3$ więcej niż białych)
2. Obliczamy łączną liczbę piłek.
   $$x+4x+(4x+3)=9x+3$$
3. Łączną liczbę piłek opisuje wyrażenie $9x+3$ (odpowiedź A).

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $x$ - wiek Ani
   • Kasia jest $3$ razy starsza od Ani, więc jej wiek to $3x$
   • Ola jest o $2$ lata starsza od Kasi, więc jej wiek to $3x+2$
2. Obliczamy łączny wiek Kasi, Ani i Oli, dodając wyrażenia opisujące ich wiek:
   $$x+3x+(3x+2)=7x+2$$
3. Łączny wiek Kasi, Ani i Oli opisuje wyrażenie $7x+2$ (odpowiedź D).

1. Mnożymy pierwszy nawias przez $2$:
   $$2(a-2b)=2a-4b$$
2. Mnożymy nawiasy $(a-b)(2-b)$ każdy wyraz przez każdy:
   $$(a-b)(2-b)=2a-ab-2b+b^2$$
3. Odejmujemy ten wynik (zmieniamy znaki przy odejmowaniu nawiasu) i dodajemy $b^2$:
   $$\begin{array}{rl}& 2a-4b-(2a-ab-2b+b^2)+b^2\\ & =2a-4b-2a+ab+2b-b^2+b^2\end{array}$$
4. Grupujemy wyrazy podobne: wyrazy z $a$ się znoszą, zostaje $ab$ oraz suma wyrazów z $b$:
   $$(2a-2a)+ab+(-4b+2b)+(-b^2+b^2)=ab-2b$$

1. Niech liczba kulek zielonych będzie równa $x$. Kulek czerwonych jest trzy razy więcej niż zielonych, czyli jest ich $3x$.
2. Kulek czerwonych jest o dwa mniej niż niebieskich, więc niebieskich jest o dwa więcej niż czerwonych.
   $$3x+2$$
3. Porównujemy liczby kulek: zielonych jest $x$, czerwonych $3x$, a niebieskich $3x+2$. Dla dodatniego $x$ najmniejsza z tych trzech liczb to $x$ – najmniej jest więc kulek zielonych (odpowiedź B).
4. Liczbę wszystkich kulek obliczamy jako sumę kulek zielonych, czerwonych i niebieskich.
   $$x+3x+(3x+2)=7x+2$$
5. Liczbę wszystkich kulek w pudełku opisuje więc wyrażenie $7x+2$ (odpowiedź D).

1. Mnożymy każdy z nawiasów przez stojący przed nim czynnik.
   $$\begin{array}{rl}& x(x+4)=x^2+4x\\ & -3(2x-5)=-6x+15\end{array}$$
2. Dodajemy otrzymane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne.
   $$x^2+4x-6x+15=x^2-2x+15$$

1. Sprawdzamy wyrażenie $J=2x^2-2$ dla obu podanych wartości $x$.
   $$\begin{array}{rl}& J(1)=2\cdot 1^2-2=2-2=0\\ & J(-1)=2\cdot (-1{)}^2-2=2-2=0\end{array}$$
2. Wyrażenie $J$ przyjmuje wartość $0$ zarówno dla $x=1$, jak i dla $x=-1$ (odpowiedź C).

1. Marcin odlał $\frac{1}{3}\cdot k$ litrów wody, a Magda odlała kolejne $3$ litry. Łączna odlana objętość wody jest równa:
   $$\frac{1}{3}\cdot k+3$$
2. Objętość wody, która pozostała w naczyniu, to początkowa objętość $k$ pomniejszona o łączną odlaną objętość:
   $$k-\left(\frac{1}{3}\cdot k+3\right)$$
3. Odpowiedź A.

1. Zamieniamy $3$ minuty na sekundy, żeby porównać czas z okresem $10$ sekund podanym w treści.
   $$3\cdot 60=180$$
2. Sprawdzamy, ile pełnych okresów po $10$ sekund mieści się w $180$ sekundach.
   $$180:10=18$$
3. W każdym takim okresie Ewa robi $a$ kroków, więc łączna liczba kroków to $18$ razy $a$.
   $$18\cdot a=18a$$
4. Ewa zrobi $18a$ kroków (odpowiedź B).

1. Liczbę $x$ powiększamy o $7$, co zapisujemy jako $x+7$, a następnie ten wynik zwiększamy $4$-krotnie, czyli mnożymy CAŁE wyrażenie przez $4$ – dlatego potrzebny jest nawias:
   $$4(x+7)$$
2. Liczbę $y$ zwiększamy $5$-krotnie, czyli mnożymy przez $5$, a dopiero do otrzymanego wyniku dodajemy $3$:
   $$5y+3$$
3. Poprawna para wyrażeń to $4(x+7)$ oraz $5y+3$ – to odpowiedź A.