Jak czytać zapis $|x - a| < r$?

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna jako odległość na osi liczbowej: równania i nierówności z modułem oraz wykresy funkcji z wartością bezwzględną.

Ten dział to średnio 0,6 zadania i 2,2 pkt na arkuszu.

Zadanie 6 Wartość bezwzględna

4 pkt

Rozwiąż równanie

∣4 x - 8∣ + ∣ x - 2∣ = ∣2 - x ∣ + ∣ x + 2∣ + 4

Zapisz obliczenia.

x = \frac{2}{5}

lub

x = \frac{14}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Ponieważ $∣4 x - 8∣ = 4 \cdot ∣ x - 2∣$ oraz $∣2 - x ∣ = ∣ x - 2∣$ dla każdego $x \in R$ , dane równanie można przekształcić równoważnie do postaci:
$4 \cdot ∣ x - 2∣ = ∣ x + 2∣ + 4$
2
Rozważamy trzy przedziały: $(- \infty, - 2)$ , $[- 2, 2)$ , $[2, + \infty)$ .
3
Dla $x \in (- \infty, - 2)$ równanie przyjmuje postać:
$- 4 x + 8 = - x - 2 + 4 - 3 x = - 6 x = 2$
4
Ponieważ $2 \in / (- \infty, - 2)$ , ten przypadek nie daje rozwiązania.
5
Dla $x \in [- 2, 2)$ równanie przyjmuje postać:
$- 4 x + 8 = x + 2 + 4 - 5 x = - 2 x = \frac{2}{5}$
6
Ponieważ $\frac{2}{5} \in [- 2, 2)$ , liczba $\frac{2}{5}$ jest rozwiązaniem.
7
Dla $x \in [2, + \infty)$ równanie przyjmuje postać:
$4 x - 8 = x + 2 + 4 3 x = 14 x = \frac{14}{3}$
8
Ponieważ $\frac{14}{3} \in [2, + \infty)$ , liczba $\frac{14}{3}$ jest rozwiązaniem.
9
Ostatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby $\frac{2}{5}$ oraz $\frac{14}{3}$ .

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Definicja wartości bezwzględnej i jej interpretacja jako odległości
Równania typu $∣ x - a ∣ = r$
Nierówności typu $∣ x - a ∣ < r$ oraz $∣ x - a ∣ > r$
Opuszczanie modułu z podziałem na przypadki
Wykres funkcji $y = ∣ f (x) ∣$

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej $x$ definiujemy wzorem:

∣ x ∣ = {x - x dla x \geq 0 dla x < 0

Liczba $∣ x ∣$ jest to odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej $x$ od punktu o współrzędnej $0$ .

Dla dowolnej liczby $x$ mamy:

∣ x ∣ \geq 0

∣ x ∣ = 0 ⟺ x = 0

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ mamy:

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

∣ x - y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

∣ x \cdot y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣

Ponadto, jeśli $y \neq = 0$ , to:

\frac{x}{y} = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ oraz $r \geq 0$ mamy:

∣ x - a ∣ \leq r ⟺ a - r \leq x \leq a + r

∣ x - a ∣ \geq r ⟺ x \leq a - r lub x \geq a + r

Najczęstsze pytania

Jako odległość liczby x od liczby a mniejszą niż r. Rozwiązaniem jest przedział otwarty o środku w a i promieniu r, więc taką nierówność można zapisać od razu przedziałem, bez podziału na przypadki.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu wartość bezwzględna.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Wartość bezwzględna liczby

Najczęstsze pytania