Jak czytać zapis $|x - a| < r$?

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna jako odległość na osi liczbowej: równania i nierówności z modułem oraz wykresy funkcji z wartością bezwzględną.

Występowanie na egzaminach

zadań: 3 z 71

punktów: 11 z 250

Ostatnie5 matur

Średnio 2,2 pkt do zdobycia na arkuszu.

zadań: 6 z 278

punktów: 19 z 950

Wszystkie arkusze19 matur

Średnio 1 pkt do zdobycia na arkuszu.

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Zobacz wszystkie zadania

Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 5Rozwiąż nierówność |x - 2| - 2 · |x + 3| Zapisz obliczenia.
Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 6Rozwiąż równanie |4x - 8| + |x - 2| = |2 - x| + |x + 2| + 4 Zapisz obliczenia.
Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 9Rozwiąż nierówność √(x²+4x+4) Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że √a² = |a| dla każdej liczby…
Matura rozszerzona maj 2022, zadanie 7Rozwiąż równanie: |x - 3| = 2x + 11
Matura rozszerzona maj 2021, zadanie 4Liczba różnych pierwiastków równania 3x + |x-4| = 0 jest równa
Matura rozszerzona czerwiec 2020, zadanie 6Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie |x-5|=(a-1)²-4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Co trzeba umieć przed maturą

Definicja wartości bezwzględnej i jej interpretacja jako odległości
Równania typu $∣ x - a ∣ = r$
Nierówności typu $∣ x - a ∣ < r$ oraz $∣ x - a ∣ > r$
Opuszczanie modułu z podziałem na przypadki
Wykres funkcji $y = ∣ f (x) ∣$

Wzory

Wzory z karty maturalnej dotyczące tego działu. Całą kartę otworzysz przyciskiem „Wzory” na górze strony.

Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej $x$ definiujemy wzorem:

∣ x ∣ = {x - x dla x \geq 0 dla x < 0

Liczba $∣ x ∣$ jest to odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej $x$ od punktu o współrzędnej $0$ .

Dla dowolnej liczby $x$ mamy:

∣ x ∣ \geq 0

∣ x ∣ = 0 ⟺ x = 0

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ mamy:

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

∣ x - y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

∣ x \cdot y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣

Ponadto, jeśli $y \neq = 0$ , to:

\frac{x}{y} = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ oraz $r \geq 0$ mamy:

∣ x - a ∣ \leq r ⟺ a - r \leq x \leq a + r

∣ x - a ∣ \geq r ⟺ x \leq a - r lub x \geq a + r

Najczęstsze pytania

Jako odległość liczby x od liczby a mniejszą niż r. Rozwiązaniem jest przedział otwarty o środku w a i promieniu r, więc taką nierówność można zapisać od razu przedziałem, bez podziału na przypadki.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu wartość bezwzględna.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.