Jak czytać zapis $|x - a| < r$?

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna jako odległość na osi liczbowej: równania i nierówności z modułem oraz wykresy funkcji z wartością bezwzględną.

Występowanie na egzaminach

zadań: 2 z 177

punktów: 2 z 237

Ostatnie5 matur

Średnio 0,4 pkt do zdobycia na arkuszu.

zadań: 9 z 771

punktów: 9 z 1048

Wszystkie arkusze22 matury

Średnio 0,4 pkt do zdobycia na arkuszu.

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Zobacz wszystkie zadania

Matura podstawowa sierpień 2025, zadanie 1Liczba |√5 - 3| + |√5 - 1| jest równa
Matura podstawowa czerwiec 2025, zadanie 1Liczby x₁ i x₂ są różnymi rozwiązaniami równania |x - 6| = 4. Iloczyn x₁ · x₂ jest równy
Matura podstawowa grudzień 2024, zadanie 1Liczby x₁ i x₂ są różnymi rozwiązaniami równania |x + 4| = 7. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź…
Matura podstawowa sierpień 2024, zadanie 1Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności |x + 1| < 3 jest równa
Matura podstawowa maj 2024, zadanie 1Dana jest nierówność |x-1|≥ 3 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb…
Matura podstawowa grudzień 2023, zadanie 4Na osi liczbowej zaznaczono przedział. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiór…
Matura podstawowa sierpień 2023, zadanie 1Dana jest nierówność |x-5| Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb…
Matura podstawowa czerwiec 2023, zadanie 1Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |x+5|<15 jest

Co trzeba umieć przed maturą

Definicja wartości bezwzględnej i jej interpretacja jako odległości
Równania typu $∣ x - a ∣ = r$
Nierówności typu $∣ x - a ∣ < r$ oraz $∣ x - a ∣ > r$
Opuszczanie modułu z podziałem na przypadki
Wykres funkcji $y = ∣ f (x) ∣$

Wzory

Wzory z karty maturalnej dotyczące tego działu. Całą kartę otworzysz przyciskiem „Wzory” na górze strony.

Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej $x$ definiujemy wzorem:

∣ x ∣ = {x - x dla x \geq 0 dla x < 0

Liczba $∣ x ∣$ jest to odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej $x$ od punktu o współrzędnej $0$ .

Dla dowolnej liczby $x$ mamy:

∣ x ∣ \geq 0

∣ x ∣ = 0 ⟺ x = 0

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ mamy:

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

∣ x - y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

∣ x \cdot y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣

Ponadto, jeśli $y \neq = 0$ , to:

\frac{x}{y} = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ oraz $r \geq 0$ mamy:

∣ x - a ∣ \leq r ⟺ a - r \leq x \leq a + r

∣ x - a ∣ \geq r ⟺ x \leq a - r lub x \geq a + r

Najczęstsze pytania

Jako odległość liczby x od liczby a mniejszą niż r. Rozwiązaniem jest przedział otwarty o środku w a i promieniu r, więc taką nierówność można zapisać od razu przedziałem, bez podziału na przypadki.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu wartość bezwzględna.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.