Zbiór zadań

Znaleziono 53 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb oczek $(x,y)$, gdzie $x,y\in \{1,2,3,4,5,6\}$, więc:
   $$|\Omega |=6\cdot 6=36$$
2. Szukamy liczb dwucyfrowych $\overline{xy}=10x+y$ nieparzystych (czyli $y\in \{1,3,5\}$) i jednocześnie podzielnych przez $3$ (czyli $x+y$ podzielne przez $3$). Sprawdzamy kolejno możliwe pary $(x,y)$:
   $$(2,1),(5,1),(3,3),(6,3),(1,5),(4,5)$$
3. Odpowiadają im liczby $21,51,33,63,15,45$ — wszystkie są nieparzyste i podzielne przez $3$. Zdarzeń sprzyjających jest zatem $6$:
   $$|A|=6$$
4. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

1. Niech $A$ oznacza zdarzenie, że losowo wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim, $B_1$ – że ma wyższe wykształcenie, a $B_2$ – że nie ma wyższego wykształcenia. Z treści zadania:
   $$P(B_1)=0,35,P(B_2)=0,65$$
2. Prawdopodobieństwa warunkowe władania językiem niemieckim wynoszą:
   $$P(A|B_1)=0,7,P(A|B_2)=0,4$$
3. Szukane prawdopodobieństwo obliczamy z twierdzenia Bayesa:
   $$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)\cdot P(A|B_1)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}$$
4. Podstawiamy dane i obliczamy:
   $$P(B_1|A)=\frac{0,35\cdot 0,7}{0,7\cdot 0,35+0,4\cdot 0,65}=0,(4851)\approx 0,49$$

1. Obliczamy liczbę kul każdego koloru. Kul białych jest $5$, kul czerwonych jest trzy razy więcej:
   $$3\cdot 5=15$$
2. Kul niebieskich jest o $5$ mniej niż czerwonych:
   $$15-5=10$$
3. Obliczamy łączną liczbę kul w pudełku:
   $$5+15+10=30$$
4. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej to stosunek liczby kul białych do wszystkich kul:
   $$P=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$$

1. Obliczamy łączną liczbę balonów w pudełku.
   $$10+8+6+8=32$$
2. Karolina wyjęła już dwa czerwone balony, więc w pudełku zostało $30$ balonów, w tym $10-2=8$ czerwonych.
3. Prawdopodobieństwo wyjęcia czerwonego balonu jako trzeciego to stosunek liczby pozostałych czerwonych balonów do liczby wszystkich pozostałych balonów.
   $$P=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę zawodników, którzy zdobyli poszczególne liczby punktów:
   

   • $0$ punktów - $1$ zawodnik
   • $10$ punktów - $2$ zawodników
   • $20$ punktów - $4$ zawodników
   • $30$ punktów - $3$ zawodników
   • $40$ punktów - $1$ zawodnik

   Obliczamy łączną liczbę wszystkich zawodników:
   $$1+2+4+3+1=11$$
2. Obliczamy liczbę zawodników, którzy zdobyli więcej niż $20$ punktów, czyli $30$ lub $40$ punktów:
   $$3+1=4$$
3. Obliczamy szukane prawdopodobieństwo jako stosunek liczby zawodników spełniających warunek do liczby wszystkich zawodników:
   $$P=\frac{4}{11}$$

1. Zdarzenia elementarne to uporządkowane pary $(x,y)$, gdzie $x\in C=\{1,2,3,4,5,6\}$, $y\in D=\{7,8,9,10\}$. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:
   $$|\Omega |=6\cdot 4=24$$
2. Zdarzeniu $A$ sprzyjają pary, w których iloczyn $x\cdot y$ jest podzielny przez $4$:
   $$(1,8),(2,8),(2,10),(3,8),(4,7),(4,8),(4,9),(4,10),(5,8),(6,8),(6,10)$$
3. Zdarzeń sprzyjających jest $11$, więc:
   $$|A|=11$$
4. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{11}{24}$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb $(x,y)$, gdzie $x\in C$ oraz $y\in D$. Korzystając z reguły mnożenia, liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=5\cdot 3=15$$
2. Wypisujemy pary, których suma jest większa od $9$: $(7,3)$, bo $7+3=10$; $(9,1)$, bo $9+1=10$; $(9,2)$, bo $9+2=11$; $(9,3)$, bo $9+3=12$. Zatem zdarzeniu $A$ sprzyjają $4$ pary:
   $$|A|=4$$
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{4}{15}$$

1. Niech $n$ oznacza łączną liczbę kul w pudełku. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli czarnej to liczba kul czarnych podzielona przez wszystkie kule:
   $$\frac{18}{n}=\frac{3}{5}$$
2. Wyznaczamy $n$:
   $$\begin{array}{rl}& 3n=18\cdot 5\\ & 3n=90\\ & n=30\end{array}$$
3. Liczba kul białych to różnica wszystkich kul i kul czarnych:
   $$30-18=12$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są pary liczb $(x,y)$, gdzie $x,y\in \{5,6,7,8,9\}$. Losowanie jest ze zwracaniem, więc liczbę wszystkich zdarzeń obliczamy z reguły mnożenia:
   $$|\Omega |=5\cdot 5=25$$
2. Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze $K$ są $3$ liczby nieparzyste ($5,7,9$) i $2$ liczby parzyste ($6,8$).
   Liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$ obliczamy z reguły mnożenia i reguły dodawania:
   $$|A|=3\cdot 3+2\cdot 2=13$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{13}{25}$$

1. W dwukrotnym rzucie kostką liczba wszystkich zdarzeń elementarnych to iloczyn liczby wyników pierwszego i drugiego rzutu:
   $$|\Omega |=6\cdot 6=36$$
2. Zliczamy pary $(a,b)$, w których pierwszy wynik $a$ jest większy od drugiego wyniku $b$, grupując po wyniku pierwszego rzutu:
   

   • pierwszy rzut $1$ - $0$ możliwości (nie ma mniejszej liczby oczek)
   • pierwszy rzut $2$ - $1$ możliwość ($b=1$)
   • pierwszy rzut $3$ - $2$ możliwości ($b=1,2$)
   • pierwszy rzut $4$ - $3$ możliwości ($b=1,2,3$)
   • pierwszy rzut $5$ - $4$ możliwości ($b=1,2,3,4$)
   • pierwszy rzut $6$ - $5$ możliwości ($b=1,2,3,4,5$)

   Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$:
   $$|A|=0+1+2+3+4+5=15$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$