Zbiór zadań

Znaleziono 34 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Funkcja $f$ jest rosnąca, więc największą wartość przyjmuje na prawym końcu przedziału, czyli dla $x=10$. Masa bańki wraz z mlekiem wynosi wtedy sumę masy bańki i masy $10$ litrów mleka:
   $$f(10)=6,5+1,03\cdot 10=6,5+10,3=16,8$$

1. Masa bańki z mlekiem to suma stałej masy pustej bańki ($6,5$ kg) oraz masy $x$ litrów mleka, gdzie każdy litr waży $1,03$ kg:
   $$f(x)=1,03x+6,5$$

1. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny. W naszym przypadku $a=-2k+3$, więc:
   $$-2k+3<0$$
2. Rozwiązujemy nierówność:
   $$\begin{array}{rl}-2k+3& <0\\ -2k& <-3\\ k& >\frac{3}{2}\end{array}$$
3. Funkcja $f$ jest malejąca dla $k\in \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$.

1. Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f$:
   $$\begin{array}{rl}& 3x+6=0\\ & 3x=-6\\ & x=-2\end{array}$$
2. Funkcja $g$ ma to samo miejsce zerowe, więc $g(-2)=0$:
   $$a\cdot (-2)+7=0$$
3. Rozwiązujemy równanie względem $a$:
   $$\begin{array}{rl}& -2a+7=0\\ & -2a=-7\\ & a=\frac{7}{2}\end{array}$$

1. Skoro $2$ jest miejscem zerowym funkcji, to $f(2)=0$. Podstawiamy $x=2$ do wzoru funkcji:
   $$(3-m)\cdot 2+4=0$$
2. Rozwiązujemy otrzymane równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 6-2m+4=0\\ & 10-2m=0\\ & m=5\end{array}$$

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
   $$\begin{array}{rl}& 3m-2=2m+4\\ & m=6\end{array}$$
2. Sprawdzamy, że dla $m=6$ proste są rzeczywiście różne — mają różne wyrazy wolne ($-2$ oraz $2$), więc się nie pokrywają.

1. Wyznaczamy miejsce zerowe, przyrównując $f(x)$ do zera:
   $$\begin{array}{rl}& -\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}=0\\ & \frac{1}{6}x=\frac{2}{3}\\ & x=4\end{array}$$
2. Miejscem zerowym jest rzeczywiście liczba $4$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Punkt przecięcia wykresu z osią $Oy$ to $\left(0,f(0)\right)$:
   $$f(0)=-\frac{1}{6}\cdot 0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$
4. Współrzędne punktu przecięcia to $\left(0,\frac{2}{3}\right)$, a nie $\left(0,-\frac{1}{6}\right)$, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Proste nie mają punktów wspólnych, gdy są równoległe i różne — czyli mają ten sam współczynnik kierunkowy, a różne wyrazy wolne. Porównujemy współczynniki kierunkowe obu funkcji:
   $$2m+3=-1$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}2m+3& =-1\\ 2m& =-4\\ m& =-2\end{array}$$
3. Sprawdzamy wyrazy wolne: funkcja $f$ ma wyraz wolny $5$, a funkcja $g$ wyraz wolny $0$ — są różne, więc dla $m=-2$ proste rzeczywiście nie mają punktów wspólnych.

1. Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$. Z warunków zadania $f(1)=0$ (miejsce zerowe) oraz $f(-1)=4$ (wykres przechodzi przez ten punkt). Zapisujemy układ równań:
   $$\{\begin{array}{l}a+b=0\\ -a+b=4\end{array}$$
2. Dodajemy równania stronami:
   $$\begin{array}{rl}& 2b=4\\ & b=2\end{array}$$
3. Podstawiamy $b=2$ do pierwszego równania:
   $$a+2=0⟹a=-2$$
4. Wzór funkcji:
   $$f(x)=-2x+2$$

1. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczamy ze wzoru:
   $$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
2. Podstawiamy współrzędne punktów $A=(-3,-1)$ i $B=(4,3)$:
   $$a=\frac{3-(-1)}{4-(-3)}=\frac{4}{7}$$

1. Z wykresu odczytujemy, że funkcja $f$ jest malejąca (wykres opada w prawo), więc współczynnik kierunkowy jest ujemny:
   $$a<0$$
2. Z wykresu odczytujemy też, że prosta przecina oś $y$ powyżej punktu $0$, czyli wartość funkcji dla $x=0$ jest dodatnia:
   $$b=f(0)>0$$

1. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni. Tutaj $a=2m-5$, więc:
   $$\begin{array}{rl}& 2m-5>0\\ & m>2,5\end{array}$$

1. Miejsce zerowe wyznaczamy, przyrównując wzór funkcji do zera:
   $$-\frac{1}{3}(x+3)+5=0$$
2. Przekształcamy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& -\frac{1}{3}(x+3)=-5\\ & x+3=15\\ & x=12\end{array}$$

1. Przesunięcie wykresu funkcji o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $Ox$ oznacza, że $g(x)=f(x+2)$.
2. Podstawiamy $x+2$ do wzoru funkcji $f$:
   $$\begin{array}{rl}& g(x)=-2(x+2)+4\\ & g(x)=-2x-4+4\\ & g(x)=-2x\end{array}$$