Zbiór zadań

Znaleziono 27 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb $(x,y)$, gdzie $x\in \{1,3,5,7,9\}$ oraz $y\in \{0,2,4,6,8\}$. Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z reguły mnożenia:
   $$|\Omega |=5\cdot 5=25$$
2. Sprawdzamy, dla których par otrzymana liczba dwucyfrowa jest podzielna przez $6$. Zdarzeniu $A$ sprzyjają pary:
   $$(1,2),(1,8),(3,0),(3,6),(5,4),(7,2),(7,8),(9,0),(9,6)$$
3. Zatem moc zbioru $A$ jest równa $9$. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{9}{25}$$

1. Zdarzeń elementarnych (par wyników dwóch rzutów) jest $6\cdot 6=36$, wszystkie jednakowo prawdopodobne.
2. Suma oczek równa $11$ zachodzi tylko dla par $(5,6)$ oraz $(6,5)$ — są to $2$ zdarzenia sprzyjające.
3. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P(A)=\frac{2}{36}$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb oczek $(x,y)$, gdzie $x,y\in \{1,2,3,4,5,6\}$, więc:
   $$|\Omega |=6\cdot 6=36$$
2. Szukamy liczb dwucyfrowych $\overline{xy}=10x+y$ nieparzystych (czyli $y\in \{1,3,5\}$) i jednocześnie podzielnych przez $3$ (czyli $x+y$ podzielne przez $3$). Sprawdzamy kolejno możliwe pary $(x,y)$:
   $$(2,1),(5,1),(3,3),(6,3),(1,5),(4,5)$$
3. Odpowiadają im liczby $21,51,33,63,15,45$ — wszystkie są nieparzyste i podzielne przez $3$. Zdarzeń sprzyjających jest zatem $6$:
   $$|A|=6$$
4. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

1. Zdarzenia elementarne to uporządkowane pary $(x,y)$, gdzie $x\in C=\{1,2,3,4,5,6\}$, $y\in D=\{7,8,9,10\}$. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:
   $$|\Omega |=6\cdot 4=24$$
2. Zdarzeniu $A$ sprzyjają pary, w których iloczyn $x\cdot y$ jest podzielny przez $4$:
   $$(1,8),(2,8),(2,10),(3,8),(4,7),(4,8),(4,9),(4,10),(5,8),(6,8),(6,10)$$
3. Zdarzeń sprzyjających jest $11$, więc:
   $$|A|=11$$
4. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{11}{24}$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb $(x,y)$, gdzie $x\in C$ oraz $y\in D$. Korzystając z reguły mnożenia, liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=5\cdot 3=15$$
2. Wypisujemy pary, których suma jest większa od $9$: $(7,3)$, bo $7+3=10$; $(9,1)$, bo $9+1=10$; $(9,2)$, bo $9+2=11$; $(9,3)$, bo $9+3=12$. Zatem zdarzeniu $A$ sprzyjają $4$ pary:
   $$|A|=4$$
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{4}{15}$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są pary liczb $(x,y)$, gdzie $x,y\in \{5,6,7,8,9\}$. Losowanie jest ze zwracaniem, więc liczbę wszystkich zdarzeń obliczamy z reguły mnożenia:
   $$|\Omega |=5\cdot 5=25$$
2. Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze $K$ są $3$ liczby nieparzyste ($5,7,9$) i $2$ liczby parzyste ($6,8$).
   Liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$ obliczamy z reguły mnożenia i reguły dodawania:
   $$|A|=3\cdot 3+2\cdot 2=13$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{13}{25}$$

1. Niech $n$ oznacza łączną liczbę kul w pudełku. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli czarnej to liczba kul czarnych podzielona przez wszystkie kule:
   $$\frac{18}{n}=\frac{3}{5}$$
2. Wyznaczamy $n$:
   $$\begin{array}{rl}& 3n=18\cdot 5\\ & 3n=90\\ & n=30\end{array}$$
3. Liczba kul białych to różnica wszystkich kul i kul czarnych:
   $$30-18=12$$

1. W dwukrotnym rzucie kostką liczba wszystkich zdarzeń elementarnych to iloczyn liczby wyników pierwszego i drugiego rzutu:
   $$|\Omega |=6\cdot 6=36$$
2. Zliczamy pary $(a,b)$, w których pierwszy wynik $a$ jest większy od drugiego wyniku $b$, grupując po wyniku pierwszego rzutu:
   

   • pierwszy rzut $1$ - $0$ możliwości (nie ma mniejszej liczby oczek)
   • pierwszy rzut $2$ - $1$ możliwość ($b=1$)
   • pierwszy rzut $3$ - $2$ możliwości ($b=1,2$)
   • pierwszy rzut $4$ - $3$ możliwości ($b=1,2,3$)
   • pierwszy rzut $5$ - $4$ możliwości ($b=1,2,3,4$)
   • pierwszy rzut $6$ - $5$ możliwości ($b=1,2,3,4,5$)

   Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$:
   $$|A|=0+1+2+3+4+5=15$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$

1. Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Wśród liczb oczek $1$–$6$ nieparzyste są $1,3,5$, czyli $3$ z $6$ możliwych wyników — prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej w jednym rzucie wynosi $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
2. Oba rzuty są niezależne, więc mnożymy prawdopodobieństwa:
   $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$