Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki

5 pkt

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru

m

, gdzie

m \neq = 0

, dla których funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = m^{2} \cdot x^{2} - 2 m x - m + 1

ma dwa różne miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

należące do przedziału

(- 2, 2)

.
Zapisz obliczenia.

m \in (1, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Współczynnik przy $x^{2}$ jest równy $m^{2} > 0$ , więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Oba miejsca zerowe leżą w przedziale $(- 2, 2)$ dokładnie wtedy, gdy jednocześnie:
$f (p) < 0$ , czyli wierzchołek leży pod osią $O x$
$p \in (- 2, 2)$
$f (- 2) > 0$
$f (2) > 0$

Zadanie 11 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{2} - k x + 6

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba

2

jest miejscem zerowym funkcji

f

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

k

jest równa

Zadanie 12 Funkcja kwadratowa

3 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - 16 x^{2} + 40 x + 11

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

C

. Ta parabola przecina oś

O x

w punktach

A

oraz

B

.

Oblicz pole trójkąta

A B C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (- 3, 7)

.

Liczba

t

spełnia warunki:

f (t) = f (- 9)

oraz

t \neq = - 9

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

t

jest równa

Zadanie 13.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (- 3, 7)

.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

wzorem

g (x) = f (x - 5)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji

g

ma współrzędne

Zadanie 14 Funkcja kwadratowa

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (3, - 2)

.
Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

wzorem

g (x) = f (x + 1)

.
Jednym z miejsc zerowych funkcji

g

jest liczba

0

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Funkcja kwadratowa

3 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

4

.
Rozważamy wszystkie trójkąty

D E F

spełniające jednocześnie następujące warunki:
• punkt

E

leży na boku

A B

kwadratu

A B C D

• punkt

F

leży na boku

B C

kwadratu

A B C D

•

∣ C F ∣ = \frac{1}{2} \cdot ∣ E B ∣ = x

, gdzie

x \in (0, 2)

(zobacz rysunek).

Niech

P (x)

oznacza pole trójkąta

D E F

w zależności od długości

x

odcinka

C F

.

Wyznacz wzór funkcji

P

zmiennej

x

, gdzie

x \in (0, 2)

. Oblicz długość

x

odcinka

C F

, dla której pole trójkąta

D E F

jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - 5 (x - π)^{2} + 2

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

przyjmuje wartość największą w przedziale

[0, 6]

dla argumentu

Zadanie 32.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - 5 (x - π)^{2} + 2

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale

[0, 6]

dla argumentu

Zadanie 33.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.
Przyjmijmy, że wysokość

h

, na której znajduje się piłeczka w danej chwili

t

, jest określona wzorem

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t

gdzie:
• czas

t

jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od

0

do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
• wysokość

h

jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

Zadanie 33.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.
Przyjmijmy, że wysokość

h

, na której znajduje się piłeczka w danej chwili

t

, jest określona wzorem

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t

gdzie:
• czas

t

jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od

0

do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
• wysokość

h

jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

Zadanie 34 Funkcja kwadratowa

5 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

.
Największa wartość funkcji

f

jest równa

100

.
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział

(- 2, 8)

.

Oblicz wartości współczynników

a

,

b

oraz

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Współczynnik

b

jest równy

Zadanie 11 Funkcja kwadratowa

6 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = (2 - m) x^{2} - 2 (2 m + 1) x + m + 8

dla każdej liczby rzeczywistej

x

, gdzie

m

jest liczbą rzeczywistą różną od

2

.

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

ma dokładnie dwa miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

tego samego znaku, które spełniają warunek

(x_{1} - x_{2})^{2} \leq 180

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (500 + 50 x) (16 - x)

.
Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ 0, 14 ⟩

jest równa

Zbiór zadań

Wyniki