Zbiór zadań

Znaleziono 75 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Skoro liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to $f(2)=0$. Podstawiamy $x=2$ do wzoru funkcji:
   $$2\cdot 2^2-k\cdot 2+6=0$$
2. Obliczamy:
   $$8-2k+6=0⟹14=2k⟹k=7$$

1. Skoro liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to $f(2)=0$. Podstawiamy $x=2$ do wzoru funkcji:
   $$2\cdot 2^2-k\cdot 2+6=0$$
2. Rozwiązujemy równanie ze względu na $k$:
   $$\begin{array}{rl}& 8-2k+6=0\\ & 14=2k\\ & k=7\end{array}$$

1. Piłeczka uderza w ziemię, gdy jej wysokość wynosi $0$. Rozwiązujemy równanie:
   $$-4,9t^2+14,7t=0$$
2. Wyłączamy $t$ przed nawias:
   $$t(-4,9t+14,7)=0$$
3. Stąd $t=0$ (chwila wyrzucenia) albo:
   $$\begin{array}{rl}& -4,9t+14,7=0\\ & t=\frac{14,7}{4,9}\\ & t=3\end{array}$$
4. Pierwsze uderzenie o ziemię (dla $t>0$) następuje więc w chwili $t=3$ s.

1. Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, czyli prostej $x=-3$.
2. Punkty $t$ i $-9$ dają tę samą wartość funkcji, więc są symetryczne względem $x=-3$. Odległość punktu $-9$ od osi symetrii wynosi:
   $$-3-(-9)=6$$
3. Punkt $t$ leży w tej samej odległości po drugiej stronie osi symetrii:
   $$t=-3+6=3$$

1. Wzór $g(x)=f(x-5)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $5$ jednostek w prawo wzdłuż osi $Ox$, bez zmiany współrzędnej $y$.
2. Wierzchołek $W=(-3,7)$ przesuwa się więc do punktu:
   $$(-3+5,7)=(2,7)$$

1. Współczynnik przy $(x-\pi {)}^2$ jest ujemny ($-5$), więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek w punkcie $x=\pi$ jest miejscem, w którym funkcja przyjmuje największą wartość.
   
2. Ponieważ $\pi \approx 3,14\in [0,6]$, wartość największa w tym przedziale jest osiągana dla:
   $$x=\pi$$

1. Ponieważ parabola ma ramiona skierowane w dół z wierzchołkiem w $x=\pi$, na przedziale domkniętym wartość najmniejsza jest osiągana w tym końcu przedziału, który jest dalej od $\pi$.
   
2. Porównujemy odległości końców przedziału od $\pi$: $\pi -0=\pi \approx 3,14$ oraz $6-\pi \approx 2,86$.
3. Punkt $x=0$ jest dalej od wierzchołka niż $x=6$, więc to w $x=0$ funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale $[0,6]$:
   $$x=0$$

1. Piłeczka uderza o ziemię, gdy $h(t)=0$:
   $$-4,9t^2+14,7t=0⟹t(-4,9t+14,7)=0$$
2. Rozwiązaniami są $t=0$ (moment wyrzutu) oraz:
   $$\begin{array}{rl}-& 4,9t+14,7=0\\ & t=\frac{14,7}{4,9}=3\end{array}$$
3. Pierwsze uderzenie o ziemię (dla $t>0$) następuje więc w chwili $t=3$ s.

1. Wysokość opisuje funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół ($a=-4,9<0$), więc największą wartość osiąga w wierzchołku paraboli:
   $$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{14,7}{2\cdot (-4,9)}=\frac{14,7}{9,8}=1,5$$