Zbiór zadań

Znaleziono 42 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Z warunku zadania:
   $$\frac{a+b+c}{3}=12⟹a+b+c=36$$
2. Sumujemy sześć podanych liczb, wyłączając wspólny czynnik $5$:
   $$2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5(a+b+c)=5\cdot 36=180$$
3. Średnią arytmetyczną otrzymujemy, dzieląc sumę przez liczbę składników, czyli $6$:
   $$\frac{180}{6}=30$$

1. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb wynosi $3$, więc ich suma jest równa:
   $$1+2+3+4+5+x+y=7\cdot 3=21$$
2. Obliczamy sumę pierwszych pięciu liczb i wyznaczamy $x+y$:
   $$15+x+y=21⟹x+y=6$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę samochodów z poszczególną liczbą wykrytych usterek:
   

   • $1$ usterka - $16$ samochodów
   • $2$ usterki - $10$ samochodów
   • $3$ usterki - $2$ samochody
   • $4$ usterki - $2$ samochody
   • $5$ usterek - $2$ samochody

   Łącznie przeglądom podlegało:
   $$16+10+2+2+2=32$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek:
   $$\bar{x}=\frac{16\cdot 1+10\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4+2\cdot 5}{32}=\frac{60}{32}=1,875$$
3. Liczba przeglądów jest parzysta ($32$), więc medianą jest średnia arytmetyczna wyniku na $16.$ i $17.$ miejscu w uporządkowanym niemalejąco ciągu. Szukamy, ile usterek odpowiada tym miejscom.
   

   • $1$ usterka - $16$ samochodów - suma $16$ - miejsce $16.$ jest tutaj
   • $2$ usterki - $10$ samochodów - suma $26$ - miejsce $17.$ jest tutaj
   • $3$ usterki - $2$ samochody - suma $28$
   • $4$ usterki - $2$ samochody - suma $30$
   • $5$ usterek - $2$ samochody - suma $32$
4. Obliczamy medianę:
   $$M_e=\frac{1+2}{2}=1,5$$

1. Z diagramu odczytujemy liczby samochodów z daną liczbą usterek:
   

   • $1$ usterka - $16$ samochodów
   • $2$ usterki - $10$ samochodów
   • $3$ usterki - $6$ samochodów
   • $4$ usterki - $2$ samochody
   • $5$ usterek - $2$ samochody

   Łącznie zbadano:
   $$16+10+6+2+2=36$$
2. Dominantą jest wartość występująca najczęściej — najwięcej samochodów ($16$) miało dokładnie $1$ usterkę, więc dominanta jest równa $1$.
3. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek:
   $$\bar{x}=\frac{1\cdot 16+2\cdot 10+3\cdot 6+4\cdot 2+5\cdot 2}{36}=\frac{16+20+18+8+10}{36}=\frac{72}{36}=2$$
4. Samochodów z co najmniej dwiema usterkami jest $10+6+2+2=20$, a z dokładnie jedną usterką jest $16$. Obliczamy, jaki procent liczby $16$ stanowi liczba $20$:
   $$\frac{20}{16}\cdot 100\%=125\%$$

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów, którzy otrzymali każdą ocenę:
   

   • ocenę $1$ - $1$ uczeń
   • ocenę $2$ - $3$ uczniów
   • ocenę $3$ - $4$ uczniów
   • ocenę $4$ - $4$ uczniów
   • ocenę $5$ - $5$ uczniów
   • ocenę $6$ - $7$ uczniów

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$1+3+4+4+5+7=24$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $12.$ i $13.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na $12$ i $13$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $1$ uczeń - suma $1$
   • ocenę $2$ - $3$ uczniów - suma $4$
   • ocenę $3$ - $4$ uczniów - suma $8$
   • ocenę $4$ - $4$ uczniów - suma $12$ - miejsce $12$ jest tutaj
   • ocenę $5$ - $5$ uczniów - suma $17$ - miejsce $13$ jest tutaj
   • ocenę $6$ - $7$ uczniów
3. Obliczamy medianę:
   $$\text{M}=\frac{4+5}{2}=4,5$$
4. Dominantą (modą) jest ocena występująca najczęściej — jest to ocena $6$, którą otrzymało najwięcej uczniów, czyli $7$.

1. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby punktów: mnożymy każdy wynik przez liczbę uczniów, którzy go uzyskali, sumujemy i dzielimy przez $32$:
   $$\bar{x}=\frac{0\cdot 4+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 11+5\cdot 5}{32}=\frac{96}{32}=3$$
2. Wynik niższy od średniej ($3$) to $0$, $1$ lub $2$ punkty. Liczymy uczniów z takim wynikiem:
   $$4+2+5=11$$
3. Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie $32$ wyniki w kolejności niemalejącej i szukamy $16.$ oraz $17.$ wyrazu. Uczniów z wynikiem nie większym niż $2$ jest $4+2+5=11$, a z wynikiem nie większym niż $3$ jest $11+5=16$, więc $16.$ wyraz to $3$. Kolejny, $17.$ wyraz, należy już do grupy $11$ uczniów z wynikiem $4$, więc jest równy $4$:
4. Dominantą jest wynik, który wystąpił najczęściej — najliczniejsza jest grupa $11$ uczniów z wynikiem $4$ punkty, więc:
   $$Mo=4$$

1. Odczytujemy z diagramu czas nauki w poszczególne dni:
   

   • poniedziałek – $25$ minut
   • wtorek – $30$ minut
   • środa – $40$ minut
   • czwartek – $35$ minut
   • piątek – $50$ minut
   • sobota – $30$ minut
2. Sprawdzamy pierwsze zdanie – sumujemy czas nauki z czterech dni, od poniedziałku do czwartku:
   $$25+30+40+35=130$$
3. $130$ minut to $2$ godziny i $10$ minut – zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie – obliczamy, ile minut to $40\%$ mniej niż czas nauki w piątek ($50$ minut):
   $$50-0,4\cdot 50=50-20=30$$
5. Otrzymany wynik ($30$ minut) jest równy czasowi nauki w sobotę odczytanemu z diagramu – zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.

1. Zapisujemy warunek na średnią arytmetyczną trzech liczb:
   $$\frac{12+14+k}{3}=16$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 12+14+k=48\\ & k=48-26\\ & k=22\end{array}$$
3. Liczba $k$ jest równa $22$ – pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie – obliczamy średnią arytmetyczną liczb $12$, $14$, $k$, $11$, $17$ dla $k=22$:
   $$\frac{12+14+22+11+17}{5}=\frac{76}{5}=15,2$$
5. $15,2$ nie jest większe od $16$ – drugie zdanie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.

1. Portal $\mathcal{F}$ wskazało $72$ uczniów, co stanowi $45\%$ wszystkich uczniów. Obliczamy więc liczbę wszystkich uczniów.
   $$\frac{72}{0,45}=160$$
2. Sprawdzamy pierwsze zdanie – obliczamy, ilu uczniów wskazało portal $\mathcal{Y}$ ($25\%$ wszystkich).
   $$160\cdot \frac{25}{100}=40$$
3. Otrzymana liczba ($40$) zgadza się z treścią zdania, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie – obliczamy liczbę uczniów, którzy wskazali portal $\mathcal{I}$ ($10\%$) i portal $\mathcal{S}$ ($15\%$).
   $$\begin{array}{rl}& 160\cdot \frac{10}{100}=16\\ & 160\cdot \frac{15}{100}=24\end{array}$$
5. Portal $\mathcal{I}$ wskazało rzeczywiście o $8$ uczniów mniej niż portal $\mathcal{S}$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.
   $$24-16=8$$

1. Średnia arytmetyczna trzech liczb $x$, $y$, $z$ jest równa $12$, więc ich suma jest równa:
   $$x+y+z=12\cdot 3=36$$
2. Ponieważ $x=6$, obliczamy sumę $y+z$.
   $$y+z=36-6=30$$
3. Średnia arytmetyczna liczb $y$ i $z$ jest równa:
   $$\frac{y+z}{2}=\frac{30}{2}=15$$
4. Odpowiedzią na pierwsze zdanie jest B ($15$). Obliczamy teraz średnią arytmetyczną czterech liczb $x,y,z,a$, korzystając z sumy $x+y+z=36$ oraz $a=4$.
   $$\frac{x+y+z+a}{4}=\frac{36+4}{4}=\frac{40}{4}=10$$
5. Odpowiedzią na drugie zdanie jest D ($10$). Odpowiedź: BD.

1. Obliczamy średnią liczby punktów zdobytych przez Antka w jednym meczu:
   $$84:6=14$$
2. Średnia jest równa $14$, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
3. Obliczamy łączną liczbę punktów po rozegraniu siódmego meczu, w którym Antek zdobędzie $21$ punktów, i dzielimy przez liczbę meczów:
   $$(84+21):7=105:7=15$$
4. Średnia rzeczywiście będzie równa $15$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Sumę wszystkich punktów obliczamy, mnożąc liczbę punktów przez liczbę uczniów, którzy je uzyskali:
   $$0\cdot 2+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 6+4\cdot 11+5\cdot 6=0+2+10+18+44+30=104$$
2. Średnią arytmetyczną obliczamy, dzieląc sumę punktów przez liczbę uczniów ($32$):
   $$\frac{104}{32}=3,25$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów z poszczególnymi ocenami:
   

   • ocenę $1$ - $2$ uczniów
   • ocenę $2$ - $9$ uczniów
   • ocenę $3$ - $5$ uczniów
   • ocenę $4$ - $3$ uczniów
   • ocenę $5$ - $5$ uczniów
   • ocenę $6$ - $1$ uczeń

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$2+9+5+3+5+1=25$$
2. Obliczamy sumę wszystkich ocen (ocena razy liczba uczniów, którzy ją otrzymali):
   $$1\cdot 2+2\cdot 9+3\cdot 5+4\cdot 3+5\cdot 5+6\cdot 1=2+18+15+12+25+6=78$$
3. Średnia arytmetyczna to suma ocen podzielona przez liczbę uczniów:
   $$\bar{x}=\frac{78}{25}=3,12$$

1. Z warunku zadania wyznaczamy sumę liczb $a$, $b$, $c$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{a+b+c}{3}=9\\ & a+b+c=27\end{array}$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną sześciu liczb $a,a,b,b,c,c$:
   $$\frac{2a+2b+2c}{6}=\frac{2(a+b+c)}{6}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{27}{3}=9$$